Quadratische Funktion Extrempunkt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3. Eine Quadratische Funktion verläuft durch den Punkt \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}6 & 0\end{array}\right) \) und besitzt den Extrempunkt \( E=(2 / 4) \).
\( \left|y(x)=-\frac{1}{4} x^{2}+x+3\right| \)

Problem/Ansatz:

Leider bekomme ich ein flasches Ergebnis.

Comments

Wie lautet die Aufgabe (soll man die Funktion aufschreiben? Diesfalls: Was ist Deine Frage, denn die Funktion steht schon da), und wie bist Du auf welches Ergebnis gekommen?

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Da die beiden Nullstellen symmetrisch zur Extremstelle liegen, die Extremstelle x=2 und eine Nullstelle x=6 ist, muss -2 die andere Nullstelle sein.

Jede quadratische Funktion mit dien beiden Nullstellen kann in der Form f(x)=a*(x-6)*(x+2) geschrieben werden. Bestimme nun a so, dass an der Extremstelle f(2)=4 gilt.

Answer 1

Wie oder was hast Du denn gerechnet? Ich kann die Lösung bestätigen.

Zeig mal her was Du hast, dann schauen wir, wo Du falsch abgebogen bist.

Grüße

Comments

Mit dem T-Nspire

y(x)=a*x²+b*x+c

Solve(

y(6)=0

y(2)=4,{a,b})

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Nun, es sind drei Unbekannte. Du aber suchst nur nach zweien?

Du musst noch eine dritte Bedingnug finden.

Darf der Rechner hier überhaupt verwendet werden?

Answer 2

Eine Quadratische Funktion ... besitzt den Extrempunkt \( E=(2 / 4) \).

Scheitelpunktform. Der Extrempunkt der Funktion

    \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)

ist \((d|e)\).

Also hat die Funktion

(1)        \(f(x) = a(x-2)^2 + 4\)

den Extrempunkt \(E\).

verläuft durch den Punkt \( \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}6 & 0\end{array}\right) \)

In (1) einsetzen ergibt

(2)        \(0 = a(6-2)^2 + 4\).

Lösung von (2) ist \(a=-\frac{1}{4}\). In (1) einsetzen ergibt

(3)        \(f(x) = -\frac{1}{4}(x-2)^2 + 4\)

Jetzt (3) in Normalform umwandeln.

Comments

Das ist natürlich die elegante Variante. Die hat nur niemand in der Oberstufe noch auf dem Schirm, sobald man Extrempunkte eingeführt hat.

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Man braucht das gar nicht in Normalform bringen. Die Nullstellen und Extremstellen lassen sich auch so berechnen.

Nullstellen: f(x) = 0 <=> (x-2)^2 = 16

<=> |x-2| = 4 <=> x-2 = 4 oder 2-x = 4

<=> x = 6 oder x = -2

Extremstellen: df(x) = -1/2 (x-2) = 0 <=> x = 2 usw…

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Lösung von (2) ist \(a=-\frac{1}{4}\). In (1) einsetzen ergibt

Wie kommt man auf ln(1)?

@oswald

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Da steht die Präposition in, nicht die mathematische Funktion \(\ln\) ...

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Da steht die Präposition in, nicht die mathematische Funktion \(\ln\) ...

Nun, ich muss ehrlicherweise zugeben, dass ich diesen Lesefehler auch gemacht habe. :-)

Vielen Dank für die Klarstellung!

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Deswegen sollte man für mathematische Formeln LaTeX nutzen. Dann passiert genau das nämlich nicht. ;)

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Hat er ja. Formel ist Latex und Text nicht.

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das hier ist nur eine Ergänzung und wurde ähnlich auch so schon beschrieben.

Über die Symmetrieachse wird der zweite Nullpunkt klar, das Verhältnis von Δx zu Δy zeigt, dass die Parabel um den Faktor 4 gestaucht und natürlich nach unten geöffnet ist, also:

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x+2)(x-6)\)  umgestellt \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+3\)

mir ist die faktorisierte Form ins Auge gesprungen; vielleicht ist die ja noch bei solchen Aufgeaben präsent. Solche Aufgaben werden schon gestellt, bevor Extrempunkte mit \(f'(x)=0\) bestimmt werden.

Answer 3

f(x) = a·x² + b·x + c

Wenn ihr das z.B. mit der Ableitung für die notwendige Bedingung rechnen sollt, müsstest du folgendes Gleichungssystem lösen

f(2) = 4 → 4a + 2b + c = 4
f'(2) = 0 → 4a + b = 0
f(6) = 0 → 36a + 6b + c = 0

Damit kommt dein Taschenrechner hoffentlich auf die Lösung: [a = -0.25 ∧ b = 1 ∧ c = 3]