Question

Bestimmen Sie ein reelles Polynom minimalen Grades in Summendarstellung, dessen
Funktionsgraph die Punkte
(-2, 12) (-1,-8) (0,-8) (1,-6) (2,4) (3, 52)
enthält.


Kann jemand mir bei dieser aufgabe helfen?

dankkeeeee

Answer 1

Eine Funktion 5. Grades geht durch 6 beliebige Punkte.

u(x) = a·x⁵ + b·x⁴ + c·x³ + d·x² + e·x + f

u(-2) = 12
u(-1) = -8
u(0) = -8
u(1) = -6
u(2) = 4
u(3) = 52

- 32·a + 16·b - 8·c + 4·d - 2·e + f = 12
-a + b - c + d - e + f = -8
f = -8
a + b + c + d + e + f = -6
32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + f = 4
243·a + 81·b + 27·c + 9·d + 3·e + f = 52

Wenn ich das löse erhalte ich

a = 0 ∧ b = 1 ∧ c = -1 ∧ d = 0 ∧ e = 2 ∧ f = -8

u(x) = x⁴ - x³ + 2·x - 8

Man braucht also nur eine Funktion 4. Grades.

Comments

Wie geht man vor, wenn die Punkte (-1,1),(0,0),(1,1) gegeben wären? Ein Polynom 2. Grades geht durch drei beliebige Punkte, aber das Polynom p=x geht durch alle drei Punkte und kein konstantes Polynom geht durch alle drei Punkte, also hat das Polynom minimalen Grades nicht Grad 2 sondern 1. Wie geht man in diesem Fall an das Problem heran?

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> Wie geht man vor, wenn die Punkte (-1,1),(0,0),(1,1) gegeben wären?

Wie kommst du auf die Idee, dass die Gerade p(x) = x durch diese drei Punkte verläuft?

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Du meinst wahrscheinlich  (-1,-1),(0,0),(1,1) - und die Herangehensweise ist identisch wie oben. Letztlich ist ein lineares Gleichungssystem zu lösen - hier mit drei Unbekannten statt mit 6 wie oben. 

In Deinem Fall wäre das $a$ und das $c$ in $p(x)=ax^2+bx+c$ eben $=0$.