Zeige, dass ein Monoid mit neutralem Element eine Gruppe ist.

Question

Sei M ein Monoid und e sein neutrales Element. Man zeige: M ist genau dann eine Gruppe, wenn es für jedes   m ∈ M ein m ∈ M gibt mit m · m = e.

Ich möchte gerne wissen, wie ich bei so einer Aufgabe einen Beweis machen kann und die der aussieht.

Liebe Grüße und vielen Dank schon mal im Voraus.

Comments

Wie wurde bei dir denn eine Gruppe definiert? Bei mir war eine Gruppe ein Monoid, in dem jedes Element ein inverses Element besitzt; also genau das, was du zeigen sollst.

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Bei mir auch. (=

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Und wie soll man eine Definition beweisen?

Answer 1

zuallerst machst du dich mit den Definitionen vertraut und schaust welche Unterschiede Monoide und Gruppen haben. Dann zeigst du beide Richtungen der Äquivalenz, wobei eine Richtung trivial ist, da sie direkt aus der Definition hervorgeht. Bei der anderen Richtung musst du dir überlegen, dass neben der Existenz der inversen Elemente auch ihre Eindeutigkeit eine Rolle spielt.

Gruß