extremstellen von e^{x}*(sin(x)+cos(x))

Question

f(x)=sin(x)*e^{x}

f'(x)=e^{x}*((sin(x)+cos(x))

beim nullsetzen komm ich einfach nicht weiter. der tr zeigt mir zwar die schöne lösung an, aber selbst komm ich nicht drauf.

hab versucht einfach den arccos zu nehmen, aber mit pi/2 komm ich nicht weiter, da muss irgendwas mit -0,7... rauskommen um dann die periode ranzuhängen. :/

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jemand eine idee ?

Answer 1

sin(x)+cos(x) = 0

sin(x) = -cos(x)

sin(x)/cos(x) = -1

tan(x) = -1 

x = - pi/4 = -45°

Comments

das mit sin(x)/cos(x)=-1 wars eigentlich schon!

das steht auch als hilfe auf dem zettel drauf (unten drunter, damit mans erst recht nicht zuordnen kann ;))

naja wusst ich bis jetzt nicht, dass das geht

nur wie mach ich jetzt weiter? 

-0.7854+2Kpi hab ich als x1

und x2?

sinus ist ja pi-x1 und cosinus -x1, wie ist das bei tangens?

wäre froh über eine antwort

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Wie ist die Periode beim Tangens ? Das sind nur 180 Grad bzw. pi und nicht 360 Grad bzw. 2*pi.

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ok ;) war vorschnell gehandelt, scheint genau so wie beim sinus zu sein, pi-x1, in dem fall ~2,35

somit: 2,35+2Kpi

also x1=-0.7854+2Kpi

        x2=2,35+2Kpi

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ok wenn mans so sieht, kann man meinen schritt halt weg lassen :(

Answer 2

Hi,

wenn du \( f'(x) = 0 \) untersuchen möchtest musst du ja überprüfen für welche \( x \in \mathbb{R} \) gilt

$$ \sin(x) +\cos(x)= 0$$

Dafür könntest du zum Beispiel ein spezielles Additionstheorem verwende.

Oder den kurzen Weg über \( \tan \) wählen.

Alternativ könntest du mit der allgemeinen Phasenverschiebung arbeiten: \( \cos(x) = \sin \left( x +\frac{1}{2}\pi+ 2k \pi \right) \), wobei \( k \in \mathbb{Z} \).

Auf dieser Basis kommst du unter der weiteren Verwendung von \(- \sin(x) = \sin(-x) \) und der Umkehrfunktion \(\arcsin\) zum Ergebnis.

Edit: Link gekürzt :)

Gruß