Eigenvektor bestimmen mit Gauß Verfahren

Question

ich versuche die ganze Zeit den Eigenvektor mit dem Gauß zu berechnen, aber ich scheitere ständig an diesem Verfahren.

Das Ziel beim Gauß ist doch, in der Diagonale 1 en und unterhalb der Diagonale 0 zu erzeugen ? Habe ich das Prinzip richtig verstanden ?

Bitte schaut doch in meinen Anhang, da ist nämlich die Aufgabe bei der ich nicht mehr weiterkomme

Vielen Dan

Answer 1

Deine Umformung hat einen kleinen Fehler, der sich jedoch nicht auf das Ergebnis überträgt. Im letzten Schritt müsstest du die 2. Zeile: 0 0 53 | 0 sein (und nicht -47).

Soweit ist dann alles in Ordnung. Du hast also die 2 Gleichungen:

$$A) x-2y -10z = 0 \\ B) \ 53z = 0$$

Aus $B)$ folgt ja schonmal $z = 0$.

Bleibt also nur noch $x-2y = 0$. Setze für $x$ jetzt beispielsweise den Parameter $t$ ein und du kriegst

$2y = t$ bzw. $y = \frac{1}{2}t$.

Somit hast du zum Eigenwert $\lambda = 5$ den Eigenvektor $\vec{a} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

Gruß

Comments

ich setze also für x t ein:

1) t-2y=0  / -t

-2y=-t / :(-2)

y= t/2

Hier verstehe ich nicht wie du auf die y= 1/2 t kommst ?

und x erhält man dann durch Einsetzen von 1/2t  und 0 ?

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Also erstens ist ja $\frac{t}{2} = \frac{1}{2}t$!

Und zweitens einmal kurz klar machen was du da suchst: Du wirst nie eine eindeutige Lösung für den Eigenvektor finden, sondern immer ein LGS erhalten, dass unendlich viele Lösungen besitzt. Deswegen verwendest du einen Parameter für eine der Variablen und berechnest die anderen variablen in Abhängigkeit von diesem Parameter.

Da du schon x = t gesetzt hast brauchst du ja nicht nochmal x zu berechnen!

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Okay alles klar soweit nur in die Lösung wird ohne in Abhängigkeit von t angegeben.

Ich habe gesagt bekommen, dass man in dem Fall für x einfach eine 1 einsetzt nur versteh ich nicht wieso man das so willkürlich auswählen kann welche Zahl man für welche Variable einsetzt.

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Weil du im Grunde einfach dir nur einen möglichen Eigenvektor aussuchst. Alle Vielfachen dieses Vektors sind ja auch Eigenvektoren (genau das zeigt die Lösungsdarstellung mit dem Parameter). Die Lösung ohne Parameter zu schreiben find ich didaktisch nicht sehr sinnvoll, weil man spätestens beim Fall wenn man mehrere Eigenvektoren in unterschiedliche Richtungen vorliegen hat, dazu geneigt ist die Lösung als einen Vektor zu schreiben.

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vielen dank nochmal hat mir sehr weiter geholfen

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Kein Problem, sehr gerne :)

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Hallo Yakyu,

kannst du mir vielleicht auch hier weiterhelfen ?

Ich verstehe es nicht das Prinzip ist ja immer das selbe, aber ich kriege immer das falsche Ergebnis raus. Habe auch mehrmals nachgerechnet.

Bitte schau doch in meinen Anhang

Lg

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Im Grunde hast du alles richtig gemacht aber:

Nur weil y in der Gleichung nicht vorkommt heißt es nicht, dass y = 0. Du kannst ja jeden beliebigen Wert für y einsetzen, bzw. y=t setzen und du hast

x=0, y=t, z =0 <- diese Werte lösen ja deine Gleichungen. Also ist der Eigenvektor

$$\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix}$$

Also was du mitnehmen kannst: Kommt eine Koordinate in keiner Gleichung mehr vor, kann man beliebige Werte für diese Koordinate einsetzen.