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Aufgabe 1:

Bei einem Forschungsprojekt über Rohrpost-Systeme wird eine zylinderförmige Transportkapsel in einer \( 100 \mathrm{~m} \) langen geraden Röhre mit Druckluft hin und her bewegt. Die Geschwindigkeit der Kapsel wird während eines Testlaufs in Abhängigkeit von der Zeit aufgezeichnet. Die Funktion \( \mathrm{f} \) mit der Gleichung

\( f(t)=\frac{1}{12} t^{3}-\frac{4}{3} t^{2}+4 t=\frac{1}{12} t(t-4)(t-12), t \in \mathbb{R} \)

beschreibt diese Geschwindigkeit im Zeitintervall \( [0 ; 12] \).

(Mit Geschwindigkeit ist stets die Momentangeschwindigkeit gemeint.)

Dabei wird \( \mathrm{t} \) als Maßzahl zur Einheit \( 1 \mathrm{~s}, \mathrm{f}(\mathrm{t}) \) als Maßzahl zur Einheit \( 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) aufgefasst. Zum Zeitpunkt \( \mathrm{t}=0 \) ist die Kapsel in der Mitte der Röhre in der Position \( 0 \mathrm{~m} \) und setzt sich vorwärts in Bewegung. Das vordere Ende der Röhre entspricht der Position \( 50 \mathrm{~m} \), das rückwärtige Ende der Position \( -50 \mathrm{~m} \). Negative Werte der Geschwindigkeit entsprechen einer Rückwärtsbewegung der Kapsel.

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a)

1. Berechne den Funktionswert von fan der Stelle \( t=6 \) und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

2. Gib die Zeiträume an, in denen sich die Kapsel vorwärts bzw. rückwärts bewegt.


b)

1. Bestimme den maximalen und den minimalen Wert der Geschwindigkeit der Kapsel im Zeitintervall \( [0 ; 12] . \)

2. Ermittle den minimalen Wert der Beschleunigung \( (= \) momentane Anderungsrate der Geschwindigkeit) der Kapsel im Zeitintervall \( [0 ; 12] \).

3. Interpretiere das negative Vorzeichen des Wertes aus 2. im Sachzusammenhang.


c)

1. Berechne \( F(t)=\int \limits_{0}^{t} f(u) d u \) und interpretiere \( F(t) \) im Sachzusammenhang.

2. Berechne, wo sich die Kapsel nach 12 Sekunden befindet.

3. Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Kapsel den Startpunkt wieder passiert.

4. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit der Kapsel während der Vorwärtsbewegung.


d) Bei einem zweiten Testlauf wird die Geschwindigkeit der Kapsel im Zeitintervall \( [0 ; 12] \) durch die Funktion \( \mathrm{g} \) mit der Gleichung \( g(t)=a t, t \in \mathfrak{R} \) beschrieben, wobei der Parameter \( a \in \Re \) eine konstante Beschleunigung darstellt.

Untersuche, für welche Werte von a Zeitpunkte nach dem Start existieren, zu denen die Geschwindigkeit der Kapsel bei beiden Testläufen gleich ist.

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2 Antworten

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Hi,

schöne Aufgabenstellung. Hier mal nur der Ansatz, versuch selbst auf die Lösung zu kommen :):

Setze \(f(t) - g(t) = 0\) und bestimme \(a\) so dass neben \(t=0\) noch weitere Nullstellen der Differenzfunktionen (und somit die Schnittpunkte beider Funktionen) im Intervall \((0,12] \) existieren.

Bitte auch in Zukunft Bilder direkt in den Editor laden und auf Links verzichten.

Gruß

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wüsste da zb direkt nicht, was ich mit dem a bei der pq formel mache... und wieder ,was ich für ein ergebnis erwarten muss :(

Du müsstest doch irgendwie an so eine Stelle hier kommen:

$$ t^2-16t+48-12a =0 $$

Dein \(a\) gehört zum \(q\) in der \(pq\)-Formel.

$$ t_{2,3} = 8 \pm \sqrt{16+12a} $$

Jetzt überleg dir für welche \(a\) mindestens eins der Ergebnisse im geforderten Intervall liegt. (Im Grunde brauchst du nur einen Vergleich zu machen, aber wie gesagt versuch dich mal dran). Es sollte dir übrigens auch klar sein, dass unter der Wurzel nichts negatives stehen darf (somit kriegst du eine untere Grenze für \(a\)).

Untere Grenze für a bei -4/3 ? ... mit dem Rest komm ich zu keiner sinnvollen Lösung ..

Untere Grenze ist schonmal richtig.

Noch ein Hinweis: Die Wurzel sollte insgesamt nicht größer-gleich 8 sein! Bitte überleg dir wieso.

wegen dem definitionsbereich bzw. intervall?

ich komm da grad nicht drauf..

Ja, denn sonst wären die weiteren Ergebnisse außerhalb des Intervalls! Richtig erkannt. Was ist also die obere Grenze für \(a\)?

für das Intervallende 0 die 4 und für das ende 12 die -4/3?

wie würde man das ohne ausprobieren hinbekommen?

Nein, insgesamt hast du aber richtig erkannt: \( -\frac{4}{3} \leq a < 4 \)

Wäre \(a < -\frac{4}{3}\), dann würdest du keine weiteren Schnittpunkte bekommen (unter der Wurzel wäre demnach eine negative Zahl).

Für \( a \geq 4 \) wäre \( t_2 = 8 + \sqrt{16+12a} > 12 \) und \( t_3 = 8 - \sqrt{16+12a} \leq 0\)

und somit hättest du zwar weitere Schnittpunkte, allerdings würden diese nicht im Bereich \((0,12] \) liegen!

Da braucht man nichts auszuprobieren! Das ist alles sinnvoll hergeleitet aus den Bedingungen.

Nochmal die Bedingungen:

$$ 16+12a \geq 0 $$

$$ t_2 \leq 12 $$

$$ t_3 > 0 $$

wie würde denn die gleichung aussehen die einem die 4 als ergebnis ausspuckt ...?

sonst ist alles klar denk ich :)

Die 3. Bedingung die ich dir dahin geschrieben hab mein Freund.

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So wie ich d.) einschätze ist gefragt

g ( t ) = f ( t )

a * t = 1/12 * t^3 - 4/3 * t^2 + 4 * t  | : t
a = 1/12 * t^2 - 4/3 * t + 4   | *12
t^2 - 16 * t = 12*a - 48  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
t^2 - 16 * t + 8^2 = 12*a - 48 + 64
( t - 8 )^2 = 12*a + 16 | √
t - 8 = ± √ ( 12*a + 16 )

t = ± √ ( 12*a +16 ) + 8

Voraussetzung : 12*a +16 ≥ 0
a  ≥ - 16 / 12

Avatar von 122 k 🚀

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