Zeige, dass w1, w2, w3 eine Basis bilden und darstellende Matrix.

Question

Aufgabe:

Sei

$\begin{aligned} f: M_{1,2}(\mathbb{R}) & \rightarrow M_{1,3}(\mathbb{R}) \\ \left(x_{1}, x_{2}\right) & \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}, 3 x_{1}\right) \end{aligned}$

Seien außerdem $v_{1}=(1,0), v_{2}=(0,1), w_{1}=(1,3,4), w_{2}=(2,0,1)$ und $w_{3}=(1,1,2)$.

a) Zeigen Sie: $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ bilden eine Basis von $M_{1,3}(\mathbb{R})$.

b) Finden Sie die darstellende Matrix von $f$ bezüglich $\left(v_{j}\right)$ und $\left(w_{i}\right)$.

Comments

Zur Basis:

Schreibe w1, w2, w3 vertikal nebeneinander in eine Matrix M.

Wenn Det(M) ≠ 0 , bilden w1,w2,w3 eine Basis.

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Stimmt das war ja einfach, danke
Und b ?

Answer 1

b) In der Matrix der Abb. stehen in den Spalten die Koeffizienten mit denen man
die Bilder der Basisvektoren von M1,2 mit der Basis von M1,3 darstellen kann.
Ich also eine Matrix mit zwei Spalten und 3 Zeilen.

f(v1) = (1,1,3)  Den musst du jetzt mit w1,w2,w3 darstellen. Ansatz

(1,1,3) = x(1,3,4) + y(2,0,1)+z(1,1,2)  gibt LGS

x+2y+z=1

3x+0y+2z=1

4x+y+2z=3

Lösung (x,y,z) = (7/5  ;  3/5  ,  -8/5  ) und das gibt die erste Spalte der Matrix.

mit f(v2) dann ebenso die 2.