Warum hat dieser Term zwei Lösungen? x^4 = (x - c)^2

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Angenommen wir haben x4 = (x - c)2 . Wenn man auf beiden seiten die 2. wurzel zieht kriegt man einmal x2 = x - c und x2 = c - x.

Die erste Lösung ist offensichtlich, aber wie kann man bei der zweiten Lösung erklären, dass sich die Vorzeichen von c und x umdrehen?

Gefragt 21 Sep 2012 von Gast jd2166

3 Antworten

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Du kannst die zweite Lösung genausogut schreiben als:

 

x2 = (-1)*(x-c)

Wenn du jetzt beide Seiten der Gleichung quadrierst, ergibt sich:

x4 = (-1)2*(x-c)2

(-1)*(-1) = 1, also ist das die Ursprungsgleichung.

Beantwortet 21 Sep 2012 von Julian Mi 10 k
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Julian hat natürlich deine Frage beantwortet. Ich möchte folgendes ergänzen:

Mit 'Lösung' ist normalerweise ein Wert oder eine Formel für x gemeint. 

Du sprichst hier vom Lösungsschritt 'links und rechts die Wurzel ziehen', der keine Äquivalenzumformung ist. 

Man kann damit Lösungen verlieren.

Beispiel , das du kennst:

x2 = 9             |√                                                       direkt rechts ±√ hinschreiben

x1 = 3,

hat eine zusätzliche Lösung (die eigentlich verloren wurde) x2 = -3

Das machst du bestimmt immer so und schreibst automatisch ±√9 hin. 

Ähnlich kommt man ja auch auf die Formel zum 2 Lösen von quadratischen Gleichungen.

Beim fraglichen Lösungsschritt                        

x4 = (x - c)2                            |√

x2 = ±√(x-c)2                   zwingt dann hier zu einer Fallunterscheidung.

x2 = (x-c)                    und               x2 = - (x-c)   = c - x

Wenn du jetzt x tatsächlich noch berechnen musst, löst du am besten die beiden quadratischen Gleichungen separat auf.

Da am Schluss der Parameter c in einem Term unter einer Wurzel stehen wird, kannst du dann immer noch separat entscheiden für welche Werte von c eine, 2, oder keine Lösung vorliegen.

Dann kannst du zusammenfassen, für welche Werte des Parameters c wieviele und welche Lösungen vorliegen. 

 

Beantwortet 21 Sep 2012 von Lu 106 k
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Dieser Term ist eine Gleichung  mit max 4 Lösungen..

x4=(x-c)²        | wurzel ziehen

x²=±(x-c)       dies ist nur der Zwischenschriit zur eigentlichen Lösung.

⇒x²=x-c

⇒0=x²-x+c

x12 =1/2±√1/4-c       x1=1/2+√1/4-c     x2=1/2-√1/4-c          c <1/4   sonst keine Lösung, da der Wert unter der Wurzel dann negativ

⇒x²=c-x

⇒0=x²+x-c

x2,4=1/2±√1/2+c      x3=1/2+1/2√c      x4=1/2-1/2√c          c>0

Die Einschränkung für c          { 1/4>c>0   }

Beantwortet 23 Sep 2012 von Akelei 19 k

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