Analysis - Aus Polynomfunktion 3. Grades Funktionsterm erstellen

Question

Hallöchen, bin seit einer Ewigkeit am Verzweifeln an einer Aufgabe. Hoffentlich kann mir jemand helfen..

Es geht um folgende Aufgabe: Das Schaubild K einer Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Ursprung und durch den Punkt A (2|1). Es hat an den Stellen x=1 und x=3 je eine waagerechte Tangente. Bestimme den Funktionsterm.

Bislang habe ich nur die nötigen Bedingungen für die Aufgabe:

[1] f(0) = 0 

[2] f(2) = 1

[3] f'(1) = 0

[4] f'(3) = 0

Wenn ich von der Gleichung f(x) = ax^{3} + bx² + cx + d und der Ableitung f'(x) = 3ax^{2} + 2bx +c ausgehe und die davor erstellten Bedingungen (ich hoffe sie sind richtig) einsetze, komm ich auf folgende Ergebnisse:

[1] 0 = a(0) ^{3} + b(0)^{2}+ c(0)+ d ⇒ d = 0

[2] 1 = a(2)^{3} + b(2)^{2} + c(2) +d ⇒ 1= 8a + 4b + 2c + d

[3] 0 = 3a(1)^{2} + 2b(1) +c ⇒ 0 = 3a + 2b + c

[4] 0 = 3a(3)^{2} + 2b(3) + c ⇒ 0 = 27a + 6b + c

Eingesetzt in ein LGS komm ich nun aber nicht mehr weiter. Habe es schon mit dem Gauß´schen Verfahren versucht, aber vergebens.

Laut Lösungsbuch lautet der Funktionsterm f(x)= (1/2x)^{3} - 3x^{2} + (9/2x)^{2}.

Meine Lösung lag irgendwo im Bereich von -16x^{3}, also ziemlich weit daneben.

Ich danke schon mal vielmals für jede Hilfe!

Answer 1

Hi,

Du hast eigentlich alles richtig gemacht (bei der Lösung ist Dir nen Quadrat reingerutscht).

Ich mach mal da weiter, wo Du aufgehört hast:

8a + 4b + 2c = 1    (I)

3a + 2b + c = 0      (II)

27a + 6b + c = 0   (III)

(I) - 2(II) und (I) - 2(III)

8a + 4b + 2c = 1     (I)

2a = 1                      (IV)

-46a - 8b = 1          (V)

Aus (IV) -> a = 1/2

Damit in (V) --> b = -3

Damit in (I) --> c = 4,5

Alles klar?

Grüße

Comments

Prinzipiell alles verstanden, vielen Dank (!), aber wie kommst du bei dem zweiten Schritt auf 2a = 1? Wenn (II) * 2 genommen wird bleibt 0 doch trotzdem 0, oder stehe ich jetzt etwa total auf der Leitung?

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In der zweiten Zeile steht doch dann:

6a + 4b + 2c = 0

Dann mit der ersten Zeile verrechnet, hat es 4b und 2c raus.

8a-6a = 2a

1-0 = 1

;)

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Uppala, das ergibt natürlich Sinn :D
Vielen lieben Dank! :)

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Kein Ding. Gerne ;).

Answer 2

8a + 4b + 2c   = 1    minus 2* 3. Gl
     3a + 2b + c    = 0      minus 3. Gl
     27a + 6b + c = 0   

-46a -8b          = 1     minus 2* 2. Gl
     -24a -4b          = 0     
     27a + 6b + c = 0 

2a                = 1             gibt a=1/2 etc.
     -24a -4b          = 0     
     27a + 6b + c = 0

Answer 3

Ausgangsgleichungen
8a + 4b + 2c = 1
3a + 2b + c = 0 | * 2
27a + 6b + c  = 0

8a + 4b + 2c = 1
6a + 4b + 2c = 0 | -
-------------------------
2a = 1
a = 1/2

Geht gleich weiter

Comments

f(x) = 0,5·x^3 - 3·x^2 + 4,5·x

Irgendwo muß in deinen Rechnungen also ein Fehler sein.

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Stimmt, das Quadrat in der Lösung bei 4,5x hätte dort nicht hin sollen.

Answer 4

Gelöscht, da die Idee mit der Parameterfunktion nicht möglich ist.

Comments

Es gibt genau eine Funktion und die hat Unknown Anfang 2016! richtig ermittelt.

f(x) = 0,5·x^3 - 3·x^2 + 4,5·x

~plot~ 0,5x^3-3x^2+4,5x ~plot~