Optimalen Radius des Zylinders bestimmen

Question

O= 2πr²+2πrh=8

V=πr²h

V'=0 und V''<0

Aber wie?

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebener Oberfläche soll ein maximales Volumen haben.

Nebenbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r²

h = O/(2·pi·r) - r

Hauptbedingung

V = pi·r²·h

V = pi·r²·(O/(2·pi·r) - r)

V = O·r/2 - pi·r³

Extremstellen V' = 0

V' = O/2 - 3·pi·r² = 0

r = √(O/(6·pi))

h = O/(2·pi·r) - r = O/(2·pi·√(O/(6·pi))) - √(O/(6·pi)) = √(2·O/(3·pi)) = 2·r

Comments

Kann man in der Nebenbedinung auch nach anederen Paramteren umstellen?
 Also wäre r=8/(3π)?

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Nach r auflösen ist etwas schwieriger. Das ist doch eine quadratische Gleichung. Wie kommst du auf deine Umformung? Die kann ich nicht nachvollziehen?

8 = 2·pi·r·h + 2·pi·r²

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Mein Fehler, hab die Wurzel vergessen, also: √(4/(3π))=r