Ordnung von g^a und Ordnung von g als Element einer Untergruppe

Question

Sei g∈G eine Element mit der Ordnung n.
(i) Gesucht ist die Ordnung von g^a für a∈ℤ.
(ii) U⊆G sei eine Untergruppe und g∈U. Gesucht ist die Ordnung von g als Element von U.
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Meine Lösung dazu wäre:
(i) ord(g^a)= kleinster gemeinsamer Vielfach von a und n
(ii) ord(g)=min(xn) mit min(xn)∈U und x∈ℕ

Wäre das so richtig?

Answer 1

Meine Lösung dazu wäre:
(i) ord(g^a)= kleinster gemeinsamer Vielfach von a und n

Es ist doch ord(g)=n also  g^n = e

Damit ist auch (g hoch a) ^n =  ( g hoch n ) ^a = e

und damit    ord(g^a) ≤ n  also eher ein Teiler als ein

Vielfaches von n.

(ii) ord(g)=min(xn) mit min(xn)∈U und x∈ℕ   ???

mit g enthält U auch alle Potenzen von g. Diese bilden eine

zyklische Untergruppe von U mit der Ordnung n.

Also enthält U eine Untergruppe der

Ordnung n, und damit ist ord(G) ein Vielfaches von n.