Grenzwertbestimmung mit h-Methode: lim_( x --> 1) (x^3 - 1) / ( 2x - 2)

Question

Wie berechnet man  den Grenzwert mit der h - Methode?

lim x --> 1   x³ - 1  /  2x - 2

Wäre der Anfang so richtig :

lim  h-->0  ((1+h)³ - 1)   /  ( 2 * ((1 + h) - 2)  ?

Wie berechntet man (1 + h )³ ? Und wie geht die Berechnung dann weiter?

Schöne Grüße O.

Comments

Was hat denn die h-Methode hier zu suchen? Was steht denn genau in der Aufgabe?

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Das wahr schon bei der letzten Aufgabe so. Man kann natürlich auch den Zähler faktorisieren, aber scheinbar soll die h-Methode geübt werden.

Answer 1

Hi,

das ist soweit richtig.
Für (1+h)³ nutze entweder das pascalsche Dreieck oder (1+h)(1+h)² :). Also erst den Binomi hinten anwenden und dann miteinander verrechnen. Es ist
(1+h)³ = 1 + 3h + 3h² + h³

$$\lim \frac{(1+h)^3-1}{2(1+h)-2} = \lim \frac{(1 + 3h + 3h^2 + h^3) - 1}{2((1+h)-1)}$$

Nun verrechnen:

$$\lim\frac{3h+3h^2+h^3}{2h}$$

Kürzen mit h

$$\lim \frac{3+3h+h^2}{2}$$

Wenn man nun h -> 0 anschaut, sind die Summanden mit h irrelevant, wir haben also den Grenzwert 3/2.

Grüße

Comments

Hi, wenn die Ableitung bestimmt werden soll, dann ist der Ansatz falsch. Wenn das bestimmt werden soll, was oben steht, dann ist die h-Methode unangebracht.

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Du spielt darauf an, dass Du die Methode nicht als "h-Methode" bezeichnen würdest, da Du diesen Begriff eher mit dem Differentialquotienten in Verbindung bringst?

Die obige Herangehensweise wird oft ebenfalls als h-Methode bezeichnet. :)

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Das habe ich noch nirgendwo so gesehen. Ich sehe darin auch keinen Vorteil.

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Wird recht häufig zur Bestimmung des Verhaltens an Polstellen verwendet :).

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Danke schön, wunderbar erklärt!

Ich weiß nur noch  nicht, wie man mit h kürzt. 

Wie sind da die Zwischenschritte?

Danke für die Mühe und schöne Grüße von O.

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Du kannst entweder den Bruch in 3 Teilbrüche aufspalten oder (was ich bevorzuge) im Zähler h ausklammern.

3h + 3h^2 + h^3 = h(3 + 3h + h^2)

Und dann eben das h kürzen. Einverstanden? :)

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Wer, bitte, denkt sich solche Aufgaben aus? Hier ist doch die sog. h-Methode viel zu umständlich. Auf direktem Wege erhält man (x³ - 1) /( 2x - 2) =1/2·(x³ - 1)/ (x - 1) = (x²+x+1)/2. (Die Summenformel für geometrische Reihen musste man früher sowieso kennen.) Für x= 1 gilt dann (x²+x+1)/2 =3/2.

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jc2144 hat diesbzgl schon eine Bemerkung verlauten lassen. Nochmals erwähnt:

"scheinbar soll die h-Methode geübt werden."

Was ja jetzt so unüblich auch nicht ist...

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Ich denke mal die Schüler kennen noch keine Polynomdivision bzw. erkennen die Faktorisierung nicht. Da hilft die h-Methode, obwohl umständlich, da sich alles Schritt für Schritt ergibt. Man braucht halt bei Potenzfunktionen nur den binomischen Lehrsatz, der Rest ist kürzen.

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@Unknown. Sicher hast du recht. Aber das Übern der h-Methode könnte auch im Zusammenhang mit der Herleitung von Ableitungen geübt werden. Dort ergibt sich ein echter Nutzen.

@gast jc2144. Die Polynomdivision in diesem Zusammenhang einzuführen wäre für Kommendes viel nützlicher.

Answer 2

dein Anfang stimmt so :).

Zur Berechnung der Potenz kannst du den binomischen Lehrsatz nehmen, oder du berechnest 

(1+h)^3=(1+h)^2*(1+h)

=(h^2+2h+1)*(1+h)=h^3+3h^2+3h+1

--->

lim h--->0 (h^3+3h^2+3h)/(2h) 

=lim h--->0 h^2/2+3h/2+3/2=3/2

Answer 3

Entweder du lernst das Pascaldreieck ein Stück weit auswendig oder du multiplizierst aus.

(1+h)^3 = (1+h)(1+h)^2 = (1+h)(1+2h+h^2) 

= 1 + 2h + h^2 + h + 2h^2 + h^3

= 1+ 3h + 3h^2 + h^3 

Nun mit dem ganzen Bruch weiterrechnen. Wegen -1  verschwindet 1,

du kannst im Zähler h ausklammern, 

dann mit h kürzen.

Und zum Schluss den Grenzübergang machen. 

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Danke, super erklärt.

Schöne Grüße von Ommel