Hausaufgaben zu Funktionen: 3 Dörfer. Wo sollte die Rettungsstation liegen?

Question

Auf der Insel "Bora" liegen die drei Dörfer A, B und C. Sie haben die in der Karte eingezeichneten Koordinaten. Nun soll eine Rettungsstation gebaut werden. An welcher Position P sollte die Rettungsstation liegen, damit die Entfernung zu allen drei Dörfern gleich weit ist.

a) Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.

b) Ist es sinnvoll, die Station gleich weit von den Dörfern zu bauen? Untersuchen Sie zum Vergleich die Position P (7|4).

HIFE ich checke es irgendwie nicht bitte bitte helft mir

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auf der Insel Bora liegen drei Dörfer a,b und c.Sie haben die Koordinaten a(2/1), b (10/59) und c (10/9).Nun soll eine Rettungsstation gebaut werden.An welcher Position p sollte die Retttungsatation liegen,damit die Entfernung zu allen drei Dörfern gleich ist?

a)Löse die Aufgabe rechnerisch und zeichnerisch

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Du suchst im Prinzip den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC.

Konstruiere den so, wie ihr das in der Geometrie früher mal gemacht habt.

Danach kannst du ihn auf genau diesem Weg mit Geradengleichungen berechnen.

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Interessante Aufgabe! Bin gespannt wie die Lösung dazu aussieht.

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Sry hab mich vertan

Answer 1

Wenn man das Dreieck ABC hat ist hier der Mittelpunkt des Umkreises gesucht. Diesen erhält man über den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Answer 2

b) Grafisch sieht das so aus. Der Umkreismittelpunkt liegt bei M(4, 7). Dazu habe ich noch den Punkt P(7,4) eingezeichnet.

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Coach, kann man das auch irgendwie rechnen?

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Hier ein Video das nützlich sein kann

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Ja sicher. Geradengleichungen der Mittelsenkrechten aufstellen und damit Schnittpunkt berechnen.

MAB = 1/2 * ([2,1] + [10,5)] = [6, 3]
mAB = (5-1)/(10-2) = 4/8 = 1/2 --> Senkrecht dazu m = -2
f(x) = -2 * (x - 6) + 3 = 15 - 2·x

MAC = 1/2 * ([2,1] + [10,9)] = [6, 5]
mAC = (9-1)/(10-2) = 8/8 = 1 --> Senkrecht dazu m = -1
g(x) = -1 * (x - 6) + 5 = 11 - x

Gleichsetzen f(x) = g(x)
15 - 2·x = 11 - x --> x = 4
f(4) = g(4) = 7

Damit ist der Umkreismittelpunkt (4,7)

Answer 3

hier die Rechnung

(weiß aber nicht ob ihr die verwendeten Methoden im Unterricht bereits kennengelernt habt)

$$\vec{ { P }_{ 1 } }=(2,1)\\\vec{ { P }_{ 2 } }=(10,9)\\\vec{ { P }_{ 3 } }=(10,5)\\\vec{ x }=(x,y)\\|\vec{ { P }_{ 1 } }-\vec{ x }|^2=(2-x)^2+(1-y)^2=r^2\\|\vec{ { P }_{ 2 } }-\vec{ x }|^2=(10-x)^2+(9-y)^2=r^2\\|\vec{ { P }_{ 2 } }-\vec{ x }|^2=(10-x)^2+(5-y)^2=r^2\\\text{Subtrahiere Gleichung 3 von Gleichung 2}\\(9-y)^2-(5-y)^2=0\\81-18y+y^2-25+10y-y^2=0\\-8y+56=0\\y=7\\\text{Es bleiben die Gleichungen}\\(2-x)^2+36=r^2\\(10-x)^2+4=r^2\\\text{Subtrahiere die untere von der oberen Gleichung}\\(2-x)^2-(10-x)^2+32=0\\... x=4\\\text{Der gesuchte Punkt lautet}\\\vec{ x }=(4,7)$$

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Ich gebe hier mal einen Hinweis auf meine Rechnung die in dieser Klassenstufe denke ich angebrachter ist.

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Welcher Klassenstufe entspricht diese Aufgabe??

Wusste nicht ob Vektoren und Gleichungssysteme schon bekannt sind, aber das ist der Ansatz der mir als erstes eingefallen ist.

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Naja. Bei Aufgabe 35 sieht man doch recht deutlich das es um lineare Funktionen gehen soll.

Aber auch mit Vektoren hätte ich es über den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten gemacht. Mit Vektoren hast du sogar den Vorteil das du parallele Geraden zur y-Achse auch modellieren kannst was mit Funktionen ja leider nicht geht.

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Na gut , da die Verbindung zwischen rechnerischer und zeichnerischer Lösung bei mir sowieso nicht gegeben hast du wohl Recht :)