Wie hast du (\(A\vee E\vee G)\) in \((!A\vee G)\wedge(!E\vee G)\) umgewandelt? Diese sind nicht äquivalent, genauer sind sie nie äquivalent, wenn nur G falsch ist!
Bespiel: $$A=1, E=0, G=0: A\vee E\vee G=1\vee 0\vee 0=1\neq0=0\wedge1=(0\vee0)\wedge(1\vee0)=(!A\vee G)\wedge(!E\vee G)$$
Für \(A=B=1\) und \(D=E=G=0\) ist das ursprüngliche \(F\) wahr, deines aber falsch.
Was du hier tun musst, ist, bereits bestehende Aussagen in die Umformung miteinzubeziehen. Wenn bereits eine andere Klausel falsch ist, ist es egal, ob diese Klausel wahr oder falsch ist, wichtig für eine Äquivalenz ist nur, dass man den Wert nicht ändert, wenn alle anderen Klauseln wahr sind. Also:
$$F=(!A\vee B)\wedge(A\vee C)\wedge(!C\vee !D)\wedge!E\wedge!G\wedge(A\vee E\vee G)\wedge!D.$$
\(F\) ist immer falsch, wenn \(G\) wahr ist, also ist es egal, ob (\(A\vee E\vee G)\) oder (\(A\vee E)\) da steht. Nochmal: Wichtig ist nur, dass F nicht plötzlich falsch wird, wenn es vorher wahr war, oder wahr, wenn es vorher falsch war, für denselben Input.
Dasselbe kann man über \(E\) sagen, also kann man \(F\) vereinfachen zu:
$$F=(!A\vee B)\wedge(A\vee C)\wedge(!C\vee !D)\wedge!E\wedge!G\wedge A\wedge!D.$$
Wenn \(A\) wahr ist, ist auch \(A\vee C\) wahr, also kann man \((A\vee C)\) ganz weglassen.
$$F=A\wedge(!A\vee B)\wedge(!C\vee !D)\wedge !D\wedge!E\wedge!G.$$
Hier hast du bereits eine Horn-Formel. Das\(!C\vee!D\) und das \(!A\) sind zwar auch überflüssig, aber zumindest hast du schon mal die richtige Form erreicht. Minimales \(F\) ist jedoch:
$$F=A\wedge B\wedge!D\wedge!E\wedge!G.$$
