Die Polynomfunktion vierten Grades f:y= ax^4+bx^3+cx^2+d

Question

hat an der Stelle x= -2  die Wendetangente y= 2x+2  und geht außerdem durch die Punkte A ( 1/ 5/8)

Meine Frage ist da ich von einer Polynomf 4. Grades spreche benötige ich 4 Gleichungen

f" (-2) = 0

f (1) = 5 / 8
f`´( -2) = 2
und

f(-2) = 0

-2 ist meine Steigung.Richtig?

ich versteh nicht  warum bei  f`´( -2) = 2
könnte mir jemand genau erklären wie ich auf die 4 Gleichungen komme? Ich weiß es hat was mi erste zweite Ableitung zu tun

Extremwerte bzw. Wendepunkte ( tangente)

alles Liebe

Answer 1

Hi,

 

f" (-2) = 0

f (1) = 5 / 8
f`´( -2) = 2
und

f(-2) = 0

 

Die orangene Gleichung hast du zweimal. Oder sollte letzteres f'(-2)=2 heißen? Das wäre richtig.

Dann liegt der einzige Fehler bei der Annahme f(-2)=0. Es ist doch aber so, dass Du x=-2 in die Wendetangente einsetzen musst, um den y-Wert zu erhalten:

f(-2)=-2

 

Die 4 Bedingungen lauten also:

f(-2)=-2

f'(-2)=2

f''(-2)=0

f(1)=5/8

 

Nun das Gleichungssystem aufstellen:

16a - 8b + 4c + d = -2
-32a + 12b - 4c = 2
48a - 12b + 2c = 0
a + b + c + d  = 5/8

 

Das gelöst ergibt:

a=0,125  b=0,5 und c=d=0

 

Die Funktion lautet also

f(x)=0,125x^4+0,5x^3

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Wie kommt man drauf:


f(-2)=-2  -> Wendetangente berührt den Graphen an der Stelle x=-2. Also liegt dort auch der y-Wert von der Tangente wie vom Graphen

f'(-2)=2 -> "Tangente" hat die gleiche Steigung wie der Graphen an dieser Stelle

f''(-2)=0 -> Wendepunkt

f(1)=5/8 -> Punkt A

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Danke =))


aber ich glaube es liegt ein Fehler vor
wir haben gesagt f " (-2) = 0 deshalb 0= 48a - 8b


und bei f ` (-2) = 2 kommt bei mir hinaus 2= -32a +12b +c wie kommst du auf die 4??

ich würde gerne wissen welche Gleichungen du nimmst um die die Werte zu erhalten

ich weiß nie welche Gleichungen ich nehmen muss :(


Danke dir

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Mit dem Zusatzbeitrag von Mathecoach alles klar? ;)


Und Gleichungen musst Du natürlich alle nehmen. Die Lösung muss ja auch allen Gleichungen gerecht werden ;).

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Du hast geschrieben f'(-2)=2 und Mathecoach f'(-2)= (-2) was ist nun korrekt ?

 

Ich verstehe noch immer nicht wie ich auf die einzelnen Punkte komme das a 0,125 ergibt

 

ich muss doch eine Gleichung mit der anderen immer auf einen Buchstaben eliminieren oder?

 

LG

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Ich habe geschrieben

f'(-2) = t'(-2) 

Also hier muss ich die Ableitung von f und die Ableitung von t nehmen und dort jeweils für x minus 2 einsetzen.

t(x) = 2·x + 2
t'(x) = 2

t'(-2) = 2

Damit hat Unknown genau das gleiche geschrieben wie ich. Ich habe es nur versucht tatsächlich auf die Bedingungen zwischen den Gleichungen aufzuschreiben. 

f'(-2) = t'(-2)

Die Steigung meines Funktionsgraphen an der Wendestelle muss gleich der Steigung der Wendetangente an der Wendestelle entsprechen.

Answer 2

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d

t(x) = 2·x + 2

 

hat an der Stelle x= -2  die Wendetangente y= 2x+2  und geht außerdem durch die Punkte A ( 1/ 5/8)

f(-2) = t(-2)
16·a - 8·b + 4·c + d = -2

f'(-2) = t'(-2)
- 32·a + 12·b - 4·c = 2

f''(-2) = 0
48·a - 12·b + 2·c = 0

f(1) = 5/8
a + b + c + d = 5/8

Ich habe 4 Gleichungen mit 4 unbekannten. Wenn ich das Löse erhalte ich die Lösung

a = 1/8 ∧ b = 1/2 ∧ c = 0 ∧ d = 0

Ich kann damit die Lösung von Unknown bestätigen. Schau dir oben mal die Bedingungen genau an. Dort steckt eigentlich alles drin.

Comments

habe meinen Fehler entdeckt! !

aber ich bräuchte bitte noch genau Hilfe welche Gleichungen ich eliminiere

ich habe es mit den 2 längsten versucht und komme auf a = 1/4 b *d das ist nicht richtig

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Da in zwei Gleichungen kein d vorkommt. Eliminiert man als erstes in einer weiteren Gleichung ein d.

16·a - 8·b + 4·c + d = -2
- 32·a + 12·b - 4·c = 2
48·a - 12·b + 2·c = 0
a + b + c + d = 5/8

Also hier z.B. die erste Gleichung minus die Vierte. Die zweite und dritte übernehme ich unverändert.

15·a - 9·b + 3·c = - 21/8
- 32·a + 12·b - 4·c = 2
48·a - 12·b + 2·c = 0

Jetzt muss ich in zwei Gleichungen noch eine Variable eliminieren. Ich versuche das c wegzubekommen und nehme dazu vier mal die erste Gleichung plus 3 mal die zweite. und die zweite plus zwei mal die dritte.

- 36·a = - 9/2
64·a - 12·b = 2

Jetzt kann ich eine schon nach a auflösen und die andere dann auch nach b. Die gleichungen oben erlauben mir dann auch c und d zu berechnen.

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15·a - 9·b + 3·c = - 21/8 diese mal 4 ?
- 32·a + 12·b - 4·c = 2 diese mal 3
48·a - 12·b + 2·c = 0


60a-36b-12c= -84/32

-96a+36b-12c=6 soll ich diese Gleichung addieren ?

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15·a - 9·b + 3·c = - 21/8   | * 4
60·a - 36·b + 12·c = - 21/2

- 32·a + 12·b - 4·c = 2   | * 3
- 96·a + 36·b - 12·c = 6

     (60·a - 36·b + 12·c = - 21/2) 
+ (- 96·a + 36·b - 12·c = 6)

- 36·a = - 9/2

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- 36·a = - 9/2
muss ich nun eine andere Gleichung nehmen ? oder kann ich die -36 rüberbringen indem ich sie dividiere?
Lg

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G = tan alpha / A = second tan 7,8 / 75 = 1,103 falsches Fenster sorry

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Du kannst die Gleichung -36·a = -9/2 natürlich einfach nach a auflösen, indem du durch -36 teilst.

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dann bekomme ich -324/ 72

in welche Gleichung muss ich a einsetzen ?

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-36·a = -9/2      |:(-36)

a = -9/ (2*(-36))
|-9 kürzen

a = 1/(2*4) = 1/8

Einsetzen kannst du a, in jede beliebige vorhandene Gleichung.