Quadratwurzel komplexer Zahlen

Question

Ich soll die Quadratwurzeln der komplexen Zahl 1 + 2i berechnen und das Ergebnis in der Form a + bi,  a,b Elemt ℝ

Answer 1

alternativer Lösungsweg:

$$z^2=1+2i,z=a+ib\\(a+ib)^2=1+2i\\a^2+2abi-b^2=1+2i\\a^2-b^2=1,2ab=2\\b=1/a\\a^2-(1/a)^2=1\\a^4-1=a^2\\a^4-a^2-1=0\\x^2-x-1=0\\x=1/2+\sqrt { 5 }/2\\x=1/2-\sqrt { 5 }/2\\a=+-\sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 }\\b=\frac { 1 }{ +-\sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 } }\\{ z }_{ 1 }=\sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 }+\frac { i }{ \sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 } }\\{ z }_{ 2 }=-\sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 }-\frac { i }{ \sqrt { 1/2+\sqrt { 5 }/2 } }$$

Answer 2

z = x + y·i  

Für den Betrag r und den Winkel φ hat man

r = √( x² + y²)    ;  φ =  arccos(x/r) wenn y≥0     [  - arccos(x/r) wenn y<0 ]

Die 2 Werte (!)   für √( x + y·i )       [ in der Form  z = u + v · i ]

z_1,2  =  ± √r · [ cos(φ) + i · sin (φ) ]

Gruß Wolfgang

Answer 3

$$\sqrt{1 + 2i} =\sqrt{1^2+2^2} \cdot e^{i \cdot \arctan{\frac 21}}$$
$$\sqrt{a\cdot e^{i b}}= \sqrt{a}\cdot e^{i \frac b2}$$

(es gibt noch eine zweite Lösung)

Answer 4

1 + 2·i = 2.236067977 * e^{(n·2·pi + 1.107148717)·i}

Bilde ich daraus die Quadratwurzel oder nehme das hoch 1/2 erhalte ich

= 2.236067977^1/2 * e^{(n·pi + 1.107148717/2)·i}

= 1.495348781 * e^{(n·pi + 0.5535743585)·i}

Setzt man für n jetzt 0 und 1 ein erhält man und wandelt es wieder zurück erhält man

x1 = 1.272019649 + 0.7861513771·i

x2 = -1.272019649 - 0.7861513771·i