Spanraum bilden, habe ich Fehler gemacht?

Question

T⊂ℝ⁴

hi,

$$\left\{ { \left( \begin{matrix} x+3y+4z \\ x-y \\ 2x-y+z \\ 4y+4z \end{matrix} \right)  }|{ x,y,z\quad \epsilon \quad reelle\quad Zahlen } \right\}$$

Man soll U als Spanraum darstellen und eine Basis bestimmen

Ich habe eine erweiterte Koeffizientenmatrix erstellt und erhalte als Ergebnis

$$\begin{cases} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{cases}\begin{ vmatrix } 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{ vmatrix }$$

$$\begin{ Bmatrix } 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{ Bmatrix }$$

Ich nehme mal an das es richtig sei, dann müsste ja gelten:

x=y=-z

und damit

$$Span\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Alles richtig? Danke fürs helfen

Comments

Da gabs leider paar Fehler beim Ergebnis mit der Koeffizientenmatrix. Deshalb versuche ich es hier nochmal$$\begin{ Bmatrix } 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{ Bmatrix }$$

---

1,-1,0|0

0,-1,1|0

0,0,0|0

0,0,0|0

Answer 1

T = { x*  \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  y * \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)  +  z * \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) | x,y,z ∈ ℝ }

 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)   =   \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)    

→  die drei Vektoren sind linear abhängig.

Da  \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\)  und \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)  offensichtlich linear unabhängig sind ( keine Vielfachen voneinander), bilden sie eine Basis von T.

→  T  =  < \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ; \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) >           [ <...> = span(...) ]

Gruß Wolfgang

 

 

Comments

wenn ich nun z=(1,2,-2,0)^T gegeben habe und sowohl eine Basis als auch die Dimension von Span(T∪{z}) ermitteln soll, wie mache ich das?