Anwendung des Rechnens mit Kongruenzen

Question

Auf welche Ziffer endet die Zahl 9¹³⁴⁶⁵? 

Mein Ansatz wäre gewesen nach Euler zu gehen. 

Ggt(a,n)=1  a^Φ(n) ≡1 mod n 

Ggt(9¹³⁴⁶⁵,10) = 1 da - 9=3³ und 10=2¹*5¹ keinen gemeinsamen Teiler haben. 

Nun komme ich leider nicht weiter :/ 

Kann mir jemand behilflich sein? 

Answer 1

Die Potenzen von 9 enden abwechselnd auf 9 und auf 1 (die ungeraden auf 9). Die Zahl 9¹³⁴⁶⁵ endet auf 9.

Comments

Die Danke für die schnelle Antwort. Aber wie genau kommen Sie drauf ?

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Die Endziffern von Potenzen aⁿ treten grundsätzlich periodisch auf, wenn n die natürlichen Zahlen durchläuft.. Es geht nur noch darum, die Periodenlänge zu bestimmen. Wenn die Basis 9 ist und nur die Einerziffer betrachtet wird, ist die Sache besonders einfach.