Grenzwert und Nullstellen

Question

a)             a_{n =} (ln(n+3)-ln(n))*n

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge a_n

b)            f(x) = (2/(√(x²-4))-(3/(√(x+23))

b.1) Berechnen Sie die Nullstellen von f

b.2) Berechnen Sie den Grenzwert von f für x gegen unendlich.

Comments

Bitte nur eine Aufgabe pro Thread einstellen -

Answer 1

$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\quad   (\ln(n+3)-\ln(n))\cdot n $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\quad   (\ln(\frac{n+3}n))\cdot n $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\quad   \ln  \left \vert \left( \frac{n+3}n\right)^n \right \vert$$

Comments

Können Sie mr sagen, welche Operation in letzte Gleichung durchgeführt haben?

---

einige Regeln zum Logarithmus:
$$ \log( a \cdot b) = \log (a )+ \log( b)$$
$$ \log( \frac a  b) = \log (a )- \log( b)$$
$$ \log( a^b) =  b \cdot     \log (a ) $$

Answer 2

b1) siehe hier:

https://www.mathelounge.de/402278/nullstellen-wurzel-im-nenner?show=402285#a402285

Answer 3

b)

Nullstellen:

2 / √(x² - 4)  -  3 / √(x + 23) = 0   ;      D = ] - 23 ; - 2 [  ∪  ] 2 ; ∞ [

⇔_D   2 * √(x + 23) - 3 * √(x² - 4) 

⇔_D   2 * √(x + 23)  =  3 * √(x² - 4)   |²

⇔_D   4*(x + 23)  = 9 * (x² - 4)

⇔_D   9x² - 4x - 128 = 0

⇔_D  x₁ = 4   ;   x₂ = - 32/9    

lim_x→∞ f(x) = lim_x→∞ (2 / √(x² - 4)  -  3 / √(x + 23) ) = 0  weil beide Summanden den Grenzwert 0 haben ( Zähler konstant, Nenner → ∞ )

Gruß Wolfgang