Konvergenz und Wurzeln: lim m→∞ ^{m}√c = 1?

Question

Heyho,

die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie, dass lim  m→∞  ^{m}√c = 1 für jede beliebige Konstante c ≥ 1 gilt.

Vielen Dank für Eure Hilfe :)

EDIT: Wurzelexponent hochgestellt.

Comments

EDIT: Gilt nicht eher

lim  m→∞  m√c = ∞ ? unter den angegebenen Bedingungen?

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Hey Lu,

genau das habe ich mir auch gedacht, allerdings steht die Aufgabe leider genauso da :/

Vielleicht hast du das auch falsch gelesen, da steht nicht m mal die Wurzel von c, sondern die m-te Wurzel von c, vielleicht liegt es daran ;)

Lg

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https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele#n-te_Wurzel_von_c

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@Yakyu: Danke. Ich nehme das m in der Frage mal in den Exponenten.

Answer 1

Das soll wohl die m-te Wurzel sein.

Also ist zu zeigen:  zu jedem c ≥ 1 und zu jedem eps > 0 gibt es

ein M mit   m>M ⇒  | m-te wurzel (c) - 1 | < eps .

Dazu:       | m-te wurzel (c) - 1 | < eps .   Betrag kann weg, da m-te wurzel (c) ≥ 1,

         m-te wurzel (c) - 1  < eps   

   m-te wurzel (c)    <    1  +  eps 



(            m-te wurzel (c)   ) m   <  (   1  + eps)   ^m     

                            c <  (   1  + eps)   ^m   

      ln(c)   <   m  *  ln  (   1  + eps)    da   ln  (   1  + eps)   positiv !

          ln(c)       /      ln  (   1  + eps)      <   m      So groß muss m sein.