Integrationsgrenzen bestimmen

Question

Hallo

ich suche die Integrationsgrenzen der beiden Funktionen. Diese muss ich ja gleichsetzen oder voneinander abziehen. Könnte man mir bitte beide Möglichkeiten zeigen?

f(x) = 1/10*x^4-9/10*x^2

g(x) = -2x^2+6x

Es muss der Flächeninhalt bestimmt werden. Ich bekomme einfach nicht die weiteren Nullstellen heraus. Legendlich x1= 0 hab ich durch ausklammern lösen können.

Vielen dank!

Answer 1

1/10*x⁴-9/10*x²    = -2x²+6x     | *10

x⁴-9x²    = -20x²+60x  

x⁴  +11x²   - 60x  = 0  

x * (x³  +11x   - 60)  = 0   

und die Klammer gibt 0 für x=3

Answer 2

wenn du den Fächeninhalt ausrechnen willst, den die Funktionsgraphen miteinander einschließen, benötigst du die Schnittstellen der beiden Funktionen:

f(x) = g(x)

1/10*x⁴ - 9/10*x² = -2x²+6x  | + 2x² | - 6x

1/10 * x⁴ + 11/10 * x² - 6x = 0   | * 10 

x⁴ + 11 x² - 60 x  = 0

x ausklammern:

x * ( x³ - 11x  - 60) = 0 

Nullproduktsatz:

x = 0   oder  x³ - 11x  - 60 = 0

Für x³ - 11x  - 60 = 0  findest du durch Probieren die Lösung x = 3

Die Polynomdivision  (x³ - 11x  - 60) : (x-3) = x² + 3x + 20 ergibt für den quadratischen Restterm keine weiteren reellen Schnittstellen.

→  Integrationsgrenzen  x = 0  und  x = 3

Gruß Wolfgang

Answer 3

Du suchst vermutlich die Schnittpunkte der beiden Graphen (die später dann wohl die Integrationsgrenzen sein sollen). Dazu kann man die Funktionsterme gleichsetzen 1/10*x⁴-9/10*x² = -2x²+6x oder deren Differenz Null setzen 1/10*x⁴-9/10*x² - ( -2x²+6x) = 0. Das ergibt zwei äußerlich verschiedene Gleichungen mit denselben Lösungen.

Nun zu den Lösungen: Zuerst formt man die zweite Gleichung um zu 1/10*x⁴-9/10*x² + 2x² - 6x = 0. Dann klammert man x aus x(1/10*x³-9/10*x + 2x - 6)=0. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. Das heißt x=0 oder 1/10*x³-9/10*x + 2x - 6=0. Vereinfacht zu 1/10*x³+11/10*x - 6=0. Hier kann man die Lösung x=3 raten und dann eine Polynomdivision durchführen: (1/10*x³+11/10*x - 6):(x-3)=x²/10+3/10·x+2. Jetzt ist noch die quadratische Gleichung x²/10+3/10·x+2=0 zu lösen, die aber keine reellen Lösunge hat. Es gibt also nur Schnittpunkte an den Stellen x₁=0 und x₂=3.