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Ist f überhaupt differenzierbar?

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f ist stetig in x = 0   ⇔   n ≥ 1   (Edit nach Kommentar)

fn'(x) =  (  n * xn-1   für  x > 0

            (       0         für  x < 0

limx→0+  f '(x)  = 0 = limx→0-  f '(x)   ⇔  n > 1

 fn   ist  in x=0   differenzierbar  ⇔  n > 1

Gruß Wolfgang 

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Warum ist f1 nicht stetig?

Du hast natürlich mal wieder recht. Danke für den Hinweis. Vorher stand "für" statt "⇔" da. Habe es geändert.

f ist stetig in x = 0   ⇔   n > 1
Das ist schon mal falsch.

limx→0+  f(x)  = 0 = limx→0-  f(x)   ⇔  n > 1
Das kann man zu deinen Gunsten als Schreibfehler ansehen.

Und jetzt machst du es entweder richtig (Gus hat es immerhin versucht) oder du beweist das hier

Der Schreibfehler war vor deinem Kommentar schon korrigiert.

Das hier, also 

https://www.mathelounge.de/418526/differenzierbarkeit-und-stetigkeit-von-funktionen

 ist eine allgemein bekannte Tatsache und wird bei solchen Beweisen einfach benutzt.      Wenn du anderer Ansicht bist, steht doch einer eigenen Antwort deinerseits nichts im Wege.

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Nach links x ≤ 0 ist die Steigung 0.

nach rechts wäre zu zeigen das der Punkt x = 0
zum ersten Punkt der Funktion x^n eine Steigung
hat und diese identisch mit der Kurvensteigung ist ?
( na,hoffentlich stimmt das )

Dazu die Skizze

Bild Mathematik
Der Differntialquotient ergibt für lim h −> 0 : 0
Die erste Ableitung der Funktion
lim x −> 0 : 0

Die Funktion ist also in x = 0 differenzierbar:


mfg

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für n∈ ℤ mit  n ≤ 1  trifft das wohl nicht zu

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