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Guten Tag,

ich muss den Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen. Leider weiß ich nicht wie ich es mit x5 machen sollte. Daher suche ich hier hilfe. Wäre nett wenn ihr mir den Lösungsweg angeben könntet, damit ich es weiß wie ich es in der Zukunft machen muss.

Funktionsterm:  f(x)=x5+x4-2x3-2x2+x+1

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In diesem Falle lassen sich die Nullstellen x=1 und x=-1 erraten. Daher existieren die Linearfaktoren (x+1) und (x-1). Damit lässt sich x5+x4-2x3-2x2+x+1 ohne Rest durch (x2-1) teilen (Polynomdivision).
(x5+x4-2x3-2x2+x+1) / (x2-1) = x3+x2-x-1 Auch in diesem Quotienten x3+x2-x-1 lässt sich die Nullstelle x=-1 raten und (x3+x2-x-1)/(x+1)=x2-1. Damit ist (x2-1)2·(x+1) eine Faktorenzerlegung und (x-1)2(x+1)3 die Linearfaktorenzerlegung. 

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x=1 ist eine (doppelte) Nullstelle  ( jeweils Probieren)

Wenn du zweimal eine Polynomdivision durch (x-1) durchführst, erhältst du

x3 + 3·x2 + 3·x + 1  = (x+1)3 

→  f(x) = (x-1)2 · (x+1)3 

Hier findest du einen Online-Rechner, der Polynomdivisionen mit Lösungsweg durchführt.

Gruß Wolfgang

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man kann zuerst mal eine Nullstelle  $${ x }_{ 0 }$$ des Terms erraten und dann den entsprechenden  Linearfaktor

$$ x-{ x }_{ 0 }$$  ausklammern.

Hier wäre z.B $${ x }_{ 0 }=1$$ eine Möglichkeit.

Das Prozedere kann man mehrmals wiederholen, da x=1 eine mehrfache Nullstelle ist.

$$ x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1\\=(x-1)(x^4+2x^3-2x-1)\\=(x-1)(x-1)(x^3+3x^2+3x+1)\\=(x-1)^2(x+1)^3 $$

Im letzten Schritt wurde der binomische Lehrsatz verwendet mit n=3 verwendet.

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