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Hallo zs,
weiß jemand von euch, wie man bei der folgenden Gleichung die Nullstellen bestimmen soll
$$ (x^2+y^2)^2 + \frac{1}{2}(x^2+y^2) - 2 = 0$$
Ich habe zwei Unbekannte aber nur eine Gleichung.

Mfg Sabrina
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Wenn du das implizit meinst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+%2B+y%5E2)%5E2+%2B+1%2F2%C2%B7(x%5E2+%2B+y%5E2)+-+2+%3D+0

Bild Mathematik

Suchst du vielleicht die beiden Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse?

Da kannst du in der Tat einfach y=0 einsetzen. 

Kannst du auch gegen Schluss machen bei den beiden vorhandenen Rechnungen. 

2 Antworten

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Meinst du das so ?

(x^2 + y^2)^2 + 1/2·(x^2 + y^2) - 2 = 0

z^2 + 1/2·z - 2 = 0 --> z = - √33/4 - 1/4 ∨ z = √33/4 - 1/4

x^2 + y^2 = √33/4 - 1/4

Oder ist das eine zweidimensionale Gleichung und die Nullstellen sind bei y = 0

(x^2 + 0^2)^2 + 1/2·(x^2 + 0^2) - 2 = 0

x^4 + 1/2·x^2 - 2 = 0

z^2 + 1/2·z - 2 = 0 --> z = - √33/4 - 1/4 ∨ z = √33/4 - 1/4

x^2 = √33/4 - 1/4

Avatar von 482 k 🚀

Es ist eine zweidimensionale Gleichung.


Kannst du dann einfach y=0 setzen??


Und $$z=x^2+y^2$$ richtig?

x4 + 1/2·x2 - 2 = 0

Ersetzen x^2 = z

z2 + 1/2·z - 2 = 0
Lösung in Worten
Es gibt unendlich viele Wertepaare x,y
welche die Ausgangsgleichung erfüllen
Bedingung
x2 + y2 = (√33) / 4 - 1/4

Wenn es eine zweidimensionale Gleichung ist. Also eine implizite Funktion, dann kann ich einfach y gleich Null setzen und nach y-Auflösen.

Bsp.

Explizite Form: y = mx + b

Implizite Form: mx - y + b = 0

Da kann ich y = 0 setzen und dann nach x auflösen.

Anders sieht es aus, wenn x und y beide unabhängig sind und einen Funktionswert bilden.

f(x, y) = ... = 0

Dort ist dann eine Kombination aus x und y zu finden, das der Funktionswert 0 ist.

Ich habe oben versucht beide Fälle entsprechend zu berücksichtigen. Hilfreich wäre es, wenn du die genaue Aufgabenstellung schreiben könntest. Daraus sollte hervor gehen, was genau gemeint ist.


die komplette Aufgabenstellung lautet:

Sei $$ \lambda, \mu \in \mathbb R $$ und $$ f_{\lambda, \mu}: \mathbb R^2 \to \mathbb R$$ durch

$$ f_{´\lambda, \mu} = (x^2+y^2)^2 + \mu (x^2+y^2) + \lambda $$ definiert.


- Berechnen Sie die Nullstellen $$(x,y) \in \mathbb R^2$$ für $$ f_{-2,\frac{1}{2}}$$

-An welchen derjenigen Punkten definiert $$ f_{-2,\frac{1}{2}}$$ eine implizite Funktion 


So lautet die komplette Aufgabenstellung

+1 Daumen

Ergänze die linke Seite quadratisch und forme um:

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + \frac{1}{2}\cdot\left(x^2+y^2\right) - 2 = 0 $$

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + 2\cdot\left(x^2+y^2\right)\cdot \frac{1}{4} = 2 $$

$$ \left(x^2+y^2\right)^2 + 2\cdot\left(x^2+y^2\right)\cdot \frac{1}{4} + \left(\frac 14\right)^2 = 2 + \left(\frac 14\right)^2 $$

$$ \left(x^2+y^2 + \frac 14\right)^2 = 2 + \left(\frac 14\right)^2 $$

$$ x^2+y^2 = - \frac 14 + \sqrt{2 + \left(\frac 14\right)^2} $$

$$ (x-0)^2+(y-0)^2 = \left(\sqrt{- \frac 14 + \sqrt{2 + \left(\frac 14\right)^2}}\right)^2 $$Die letzte Zeile ist die Mittelpunkt-Radius-Form eine Kreises.

Avatar von 26 k
Danke für die Herleitung. Ich sehe aber leider immer noch nicht wie ich an die Nullstellen kommen soll

Die Nullstellen sind die Punkte auf dem beschriebenen Kreis.

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