Gleichung der Kreises ermitteln durch Punkte A, B und C

Question

Aufgabe Streckensymmetrie:

Ermittle eine Gleichung jenes Kreises, auf dem die Punkte A, B und C liegen.

Berechne die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Koordinatenachsen.

a) $A=(-2|4), B=(13|-9), C=(9|7)$

b) $A=(-6|4), B=(2 |-2), C=(-4 | 10)$

Hinweis: Streckensymmetralen!

Ich brauche Hilfe zur Nummer b) Kreisgleichung.

Comments

In der Skizze kannst du eigentlich direkt konstruieren:

~draw~ polygon(-6|4 2|-2 -4|10);punkt(-6|4 "A");punkt(2|-2 "B");punkt(-2|1 "MAB");gerade(-2|1 4|9);punkt(-4|10 "C");punkt(-5|7 "MAC");gerade(-5|7 -2|6);punkt(-1|4 "MBC");gerade(-1|4 1|5);kreis(1|5 7){00F}#;punkt(1|5 "M");zoom(13) ~draw~

Nun noch die Rechnung mit den Geradengleichungen usw. aufschreiben.

Answer 1

( -6 | 4 )
( 2 | -2 )
( -4 | 10 )

allgemeine Kreisgleichung

r² = ( x - xm )² + ( y - ym )²

r² = ( -6 - xm )² + ( 4 - ym )²
r² = ( 2 - xm )² + (-2 - ym  )²
r² = ( -4 -xm )² + (  10 - ym )²

( -6 - xm )^2 + ( 4 - ym )^2 = ( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2
( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2 = ( -4 -xm )^2 + (  10 - ym )^2

Matheprogramm

xm = 1
ym = 5

r² = ( x - 1  )² + ( y  - 5 )²
( -6 | 4 )
r² = ( -6 - 1  )² + ( 4  - 5 )²

r = 5 * √ 2

( 5 * √ 2 )²=  ( x -1 )² + ( y - 5 )²

Alle 3 Punkte liegen auf diesem Kreis.

Solltet ihr die Aufgabe ohne GRT oder CAS lösen ?

Schnittpunkte mit der x-Achse.
y = 0 einsetzen

Schnittpunkte mit der y-Achse.
x = 0 einsetzen

mfg Georg

Answer 2

Du brauchst weder einen GTR noch ein CAS.

Alle drei Punkte in die allg. Kreisgleichung $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2 = r^2$ einsetzen:

$$(-6-x_M)^2+(4-y_M)^2 = r^2$$

$$(2-x_M)^2+(-2-y_M)^2 = r^2$$

$$(-4-x_M)^2+(10-y_M)^2 = r^2$$

Ergibt:

$$-12x_M+8y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 52$$

$$4x_M-4y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 8$$

$$-8x_M+20y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 116$$

Substitution $K = (r^2-x_M^2-y_M^2)$ ergibt das LGS:

$$-12x_M+8y_M+K = 52$$

$$4x_M-4y_M+K = 8$$

$$-8x_M+20y_M+K = 116$$

Damit:

$x_M = 1$, $y_M = 5$ und $K = 24$

und damit:

$r = \sqrt{50}$.

Und damit dann:

$$(x-1)^2+(y-5)^2 = 50$$

Schnittpunkte mit den Achsen bekommst Du für $x = 0$ bzw. $y = 0$.

Grüße,

M.B.

Answer 3

Man könnte natürlich auch den Hinweis beachten und so vorgehen:

Berechne den Mittelpukt M_AB der Strecke AB und die Steigung m_AB der Strecke AB.

Bestimme die Gleichung der Mittelsenkrechten g von AB mit der Steigung -1/ m_AB und dem Punkt M_AB.

Wiederhole eine derartige Rechnung für die Mittelsenkrechte h von BC.

Der Schnittpunkt S (x_m;y_m) von g und h ist der Mittelpukt des Kreises. Die Länge der Strecke SA ist der Radius r des Kreises.

Nun Radius r und Mittelpunkt (x_m;y_m) in r² = ( x - x_m )² + ( y - y_m )² einsetzen.

Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man für y = 0.

Schnittpunkte mit der y-Achse erhält man für x = 0

Comments

Hallo Roland,
da ich ja auch noch am Lernen bin.

Kurzform des Lösungswegs :
Die 3 Punkte zum Dreieck verbinden.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
zweier beliebiger Seiten ist der Mittelpunkt
des Kreises.

Hoffentlich behalte ich das bis zur nächsten
gestellten Frage.

mfg Georg

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Mit Besichtigung der Zeichnung ist das vielleicht noch besser zu merken:

~draw~ dreieck(-6|4 2|-2 -4|10);gerade(-2|1 1|5);gerade(-5|7 1|5);kreis(1|5 7.07);zoom(12) ~draw~