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Hallo ich habe mit eine frage begegnet das eine andere form hat  (oder es kommt mir vor weil ich es nicht weiß)

also die frage lautet so:


wann nennt man eine differentialgleichung der form P(x,y) + Q(x,y)y' = 0 exakt?

wie löst man eine exakte differentialgleichung 

und lösen sie die differentialgleichung y^2-7+2xyy' = 0

ich wäre sehr dankbar wenn jemand das erklären bzw lösen kann 

danke voraus

von

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Die Diffenrialgleichung der Form $$P(x,y)+Q(x,y)y'=0$$ ist exakt genau dann, wenn gilt $$P_y=Q_x$$ 

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist $$F(x,y)=C$$ 


Bei der Differnetialgleichung $$y^2-7+2xyy'=0$$ haben wir $$P(x,y)=y^2-7 \ \text{ und } \ Q(x,y)=2xy$$ 

Die partiellen Ableitungen sind $$P_y=\frac{\partial}{\partial{y}}(y^2-7)=2y \ \text{ und } \ Q_x=\frac{\partial}{\partial{x}}(2xy)=2y $$ Es gilt also $$P_y=Q_x$$ Die Differentialgleichung ist also exakt. 

Wir müssen also die Stammfunktion F(x,y) bestimmen, für welche $$F_x=P \ \text{ und } \ F_y=Q$$ gilt. 

Wir starten mit der Bedingung $$F_x=P  \Rightarrow F_x=y^2-7$$ Integration nach x liefert $$F(x,y)=\left (y^2-7\right )x+\phi (y)$$ wobei φ(y) eine beliebige Funktion von y ist. 

Von Fy=Q bekommen wir folgendes: $$\frac{\partial}{\partial{y}}\left (\left (y^2-7\right )x+\phi (y)\right )=2xy \\ \Rightarrow 2yx+\phi' (y)=2xy \\ \Rightarrow \phi' (y)=0 \\ \phi (y)=0$$ 

Damit ist $$F(x,y)=\left (y^2-7\right )x=C$$ die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.  

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wann nennt man eine differentialgleichung der form P(x,y) + Q(x,y)y' = 0 exakt?

Py=Qx

hier hast Du mal ein Beispiel , wie das geht :

https://www.mathelounge.de/442044/dgl-ist-exakt-gebiet-angeben-und-die-dgl-losen-21-2x-xy-dx-2y-dy#a442064

Diese Aufgabe geht analog

Bei dieser Aufgabe ist :


Py=Qx= 2y

y^2 -7 +2 xyy' =0

setze y' =dy/dx

(y^2-7) dx +2xy dy=0

P= y^2-7

Q=2xy

Py= 2y

Qx= 2y

-------->exakte DGL



von 77 k

ich bin sehrdankbar für informatioin und erklärung 

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