Wie lauten die Koordinaten des Punktes P auf der y-Achse, der von A(7/0/-4) und B(-3/1/-7) gleich weit entfernt ist?

Question

Der Punkt P auf der y-Achse ist von A(7/0/-4) und B(-3/1/-7) gleich weit entfernt. Wie lauten die Koordinaten des Punktes P

Answer 1

Wenn $P$ auf der Y-Achse liegt, so hat $P$ die Koordinaten $p_y e_y$. $e_y$ ist der Einheitsvektor auf der Y-Achse. Wenn die Abstände zu $A$ und $B$ gleich sein soll, so gilt das auch für die Quadrate - man kann also schreiben

$$(A - p_y e_y)^2 = (B - p_y e_y)^2$$

$$\Rightarrow \space 2 p_y (e_y B- e_y A)= B^2 - A^2 \quad \Rightarrow p_y = \frac{B^2 - A^2}{2 (e_y B- e_y A)}$$

Jetzt ist aber $e_y B= B_y = 1$ und $e_y A = A_y=0$. Dann erhält man

$$p_y=\frac{(3^2+1^2+7^2)-(7^2+0^2+4^2)}{2(1 -0)}=-3$$

Der Punkt $P$ liegt also bei $P=(0; -3; 0)^T$.

Wahrscheinlich wollte Dein Lehrer aber einen andere Lösung von Dir. Alle Punkte, die gleich weit von $A$ und $B$ enntfernt sind, liegen auf einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $\frac{1}{2}(A+B)$ von $A$ und $B$ geht und auf dem Differenzvektor $A-B$ senkrecht steht. Das lässt sich als Normalform hinschreiben

$$(A-B) \cdot x= (A-B) \cdot \frac{1}{2}(A+B) \space \Rightarrow \space \begin{pmatrix} 10\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} x =3$$

Jetzt setze ich für $x$ wieder das $P$ von oben ein

$$\begin{pmatrix} 10\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ p_y\\ 0 \end{pmatrix} =3 \space \Rightarrow \space p_y=-3$$

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Comments

@Lu und Werner - Danke für eure Ergänzungen = Löwenanteil der Lösung

Answer 2

Zuerst:

Bestimme die Mittelsenkrechte Ebene E von A(7/0/-4) und B(-3/1/-7) 

und dann:

schneide sie mit der y-Achse. 

Erster Teil am einfachsten wohl via die Koordinatenform der Gleichung von E. 

Zweiter Teil: x und z in der Ebenengleichung Null setzen und dann die y-Koordinate von P(0|y|0) ausrechnen. 

Answer 3

Hallo

Um den Mittelpunkt einer Strecke zu berechnen, addierst du die entsprechenden Koordinaten und teilst die Ergebnisse jeweils durch 2:

$$\frac{ 7-3 }{ 2 } = 2, \frac{ 0+1 }{ 2 }= 0,5, \frac{ -4-7 }{2 } = -5,5, \text{ also hat der Mittelpunkt die Koordinaten } M (2|0,5|-5,5)$$

Gruß

Silvia

Comments

Gesucht ist ein Punkt P, der auf der y-Achse liegt... es geht also noch ein wenig weiter.

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Verflixt, das habe ich überlesen...

Answer 4

AB = B - A = [-10, 1, -3] = -[10, -1, 3]

M_AB = 1/2 * (A + B) = [2, 0.5, -5.5]

Ebene E durch M_AB mit Normalenvektor AB

E: 10·x - y + 3·z = [2, 0.5, -5.5]·[10, -1, 3] = 3

P = [0, y, 0] in E einsetzen und y bestimmen

-y = 3 --> y = -3

Der Punkt [0, -3, 0] ist von A und B gleich weit entfernt.