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Bild Mathematik Hallo:)


Zu der a hab ich folgendes: Ich hab zunähst die Determinante bestimmt.
det(A)= -9c2+9=> für alle c∈ℝ\{-1,1}
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A besitzt für jedes c eine Determinante, wozu also die Einschränkung?

Bei der b komm ich leider nicht voran.

Hab da für x2=1 raus

Für x1=2-cx^3

Und wie sieht dann die Lösungsmenge aus?

Für c=1 und c=-1 ist die matrix nicht imvertierbar

Ja, und warum?

Weil sie dann 0 ist

Nein, sondern weil die Determinante dann 0 ist. Deine Determinante ist aber für die beiden c-Werte gar nicht definiert...

3 Antworten

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Hallo like,   (habe einen Eingabefehler korrigiert)

wenn du von folgender Matrix ausgehst

c   3   1      1  1  0    5 ⎤

2  -1  2c     0  1  0    3

1   4   c      0  0  1    6 ⎦

kannst du für  c ≠ ±1  mit dem Gaußalgoritmus (hässliche Rechnung :-)) folgende Matrix herstellen und damit die inverse Matrix und die eindeutige Lösung des LGS  gleichzeitig bestimmen:

[1  0  0      c/(c^2 - 1)      4·(3·c - 1)/(9·(c^2 - 1))    (6·c + 1)/(9·(1 - c^2))       2/(c+1)

 0  1  0             0                      -1/9                                 2/9                         1

 0  0  1      1/(1 - c^2)      4·(c - 3)/(9·(c^2 - 1))      (c + 6)/(9·(c^2 - 1))            2/(c+1)  

-------------------

Wenn du den GA für  c = 1 durchführst ergibt sich aus

⎡ 1   3  1  5 ⎤

⎢ 2  -1  2  3 ⎥

⎣ 1   4  1  6  

...

⎡ 1  0  1  2 ⎤

⎢ 0  1  0  1 ⎥

0  0  0  0

in der letzten Zeile eine Nullzeile  ( Matrix nicht invertierbar ) 

→   das  LGS hat unendlich viele Lösungen der Form  ( 2-k | 1 | k)  mit k∈ℝ

-----

Für c = -1  erhält man aus  

⎡ -1   3   1  5 ⎤

⎢  2  -1  -2  3 ⎥

⎣  1   4  -1  6 ⎦

...

⎡ 1  0  -1  0 ⎤

⎢ 0  1   0  0 ⎥

0  0   0  1

letzte Zeile  →  keine Lösung  des LGS und Matrix nicht invertierbar

Gruß Wolfgang

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Hallo likeeeeeee22! :-)

Bei a) habe ich dasselbe raus wie Du. A ist invertierbar, wenn Rg(A) = 3, das ist der Fall wenn c∈ℝ\{-1,1} ist.
a) habe ich mit dem Gaußalgorithmus gelöst und konnte einige Zeilen davon für b) benutzen.

b)  Für alle c ≠ -1 ist λ = ( 2/(c+1),1, 2/(c+1) )T eine Lösung des Gleichungssystems.

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Edit: Verbesserte Rechnung sowie Probe hinzugefügt.


Beste Grüße
gorgar

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P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = -2(c-1)

Edit. Vorzeichenfehler korrigiert.
Danke Gast az0815

P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = 2(c+1)

Hm?

Sooooo ... wieder daheim, Probe gemacht, Fehler gefunden! :-) ::thumbsdown::
Habe die fehlerhafte Rechnung durch die verbesserte Rechnung in meiner Antwort ersetzt, sowie die Probe angehängt.

P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = -2(c-1)

Edit. Vorzeichenfehler korrigiert.

Na, irgendein Fehler wird wohl noch drin sein.

Wird wohl noch? Mit welcher Wahrscheinlichkeit?

-2(c - 1) ≠ -2/(c - 1)

-2(c - 1) ≠ -2/(c - 1)

Ja, das habe ich in der Rechnung korrigiert, aber nicht im Kommentar. Ich nehme an, Gast az0815 bezieht sich auf die korrigierte Rechnung.

Wenn er sich auf die Rechnung bezieht ist es unklar warum er den Kommentar zitiert. Die Rechnung habe ich mir nicht weiter angesehen.

Ich bezog mich auf das Zitierte und war der Meinung, dass das die vorgenommene Änderung beschreibt.

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DET([c, 3, 1; 2, -1, 2·c; 1, 4, c]) = 9·(c + 1)·(1 - c) ≠ 0 --> c ≠ ±1

[c, 3, 1; 2, -1, 2·c; 1, 4, c]^-1 = [c/(c^2 - 1), (3·c - 4)/(9·(c^2 - 1)), (6·c + 1)/(9·(1 - c^2)); 0, - 1/9, 2/9; 1/(1 - c^2), (4·c - 3)/(9·(c^2 - 1)), (c + 6)/(9·(c^2 - 1))]

[c/(c^2 - 1), (3·c - 4)/(9·(c^2 - 1)), (6·c + 1)/(9·(1 - c^2)); 0, - 1/9, 2/9; 1/(1 - c^2), (4·c - 3)/(9·(c^2 - 1)), (c + 6)/(9·(c^2 - 1))] * [5; 3; 6] = [2/(c + 1); 1; 2/(c + 1)]

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