Substitution. Bestimmung von Nullstellen. f(x)= x^6 - 29x^3 + 28

Question

Wer kann mir  bei dieser aufgabe helfen?

Bestimmen Sie die nullstellen der Funktion f mithilfe der Substitution x^3= z.

f (x)= x^6 - 29x^3 + 28

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Vom Duplikat:

Titel: Substitution bestimmung von nullstellen

Stichworte: funktion,nullstellen

Wer kann mir  bei dieser aufgabe helfen?

Bestimmen Sie die nullstellen der Funktion f mithilfe der Substitution x^3= z.

f (x)= x^6 - 29x^3 + 28

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Vom Duplikat:

Titel: f(x) = x^6 - 29x^3 + 28

Stichworte: substitution

Aufgabe: Substitution mit x hoch 6

Problem/Ansatz: wie löse ich die Gleichung f(x) = x hoch 6 - 29x hoch 3 +28?

Ich komme nach der substitution mit x hoch 3 nicht weiter, denn es lässt sich nicht mit der Mitternachtsformel berechnen

Answer 1

f (x)= x⁶ - 29x³ + 28

f(z) = z^2 - 29z + 28    | Faktorisieren

= (z-28)(z-1) 

z1 = 28, 

z2 = 1, 

Falls du nur die reellen Nullstellen brauchst: 

z1 = 28,  ---> x1 = ³√(28) 

z2 = 1, ---> x2 = 1 

(ohne Gewähr!) Mache eine geeignete Probe! 

Comments

Bei dir wird aus -29x^3  eine -27z.

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Das habe ich nun korrigiert.

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Habe soweit alles verstanden aber warum wird wenn man mit hoch 3 substituiert also z = x hoch 3 warum wird dies dann zu z Quadrat ist müsste doch z hoch 3 heißen oder wenn ursprünglich es hoch 6 war da rechne ich ja in meinen Augen nur Exponent hoch 6 -3 oder? Des ist doch der Sinn des substituierens

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Habe soweit alles verstanden aber warum wird wenn man mit hoch 3 substituiert also z = x hoch 3 warum wird dies dann zu z Quadrat ist müsste doch z hoch 3 heißen oder wenn ursprünglich es hoch 6 war da rechne ich ja in meinen Augen nur Exponent hoch 6 -3 oder? Des ist doch der Sinn des substituierens

Wir substituieren x^3 durch z und damit wird x^6 zu

x^6 = x^3 · x^3 = z · z = z^2

Alternativ zum Faktorisieren mit Vieta, kann man auch die Nullstellen der quadratischen Gleichung durch ein anderes Verfahren bestimmen. z.B. pq-Formel etc.

Answer 2

Halllo:-)

Setze \(z=x^3\). Dann hast du \(0=x^6-29x^3+28=(x^3)^2-29x^3+28=z^2-29z+28\)

Lösung davon \(z_{1,2}=14.5\pm \sqrt{14.5^2-28}=14.5\pm 13.5\),

also \(z_1=28\) und \(z_2=1\). Damit hast du \(x_1=\sqrt[3]{28}\approx 0.03659\) und \(x_2=\sqrt[3]{1}=1\).

Comments

Dankeschön, für die schnelle Antwort !

Habe vorhin das selbe Ergebnis rausbekommen :)

Answer 3

z^2-29z+28=0

z_(1,2)=14,5±√(210,25-28)

z_(1)=14,5+13,5=28

z_(2)=14,5-13,5=1

x_(1)=³√28=3,04

x_(2)=1

Answer 4

--->

z^2 -29 z+28=0 ->pq-Formel

z_1.2= 29/2 ± √ (841/4 -112/4)

z_1.2= 29/2 ± √ (729/4 )

z_1.2= 29/2 ± 27/2

z₁= 28

z₂= 1

->Resubstitution z=x^3

x₁= 1

x₂≈ 3.04

der Rest sind komplexe Lösungen (wahrscheinlich nicht gefragt)

Answer 5

r-setze x^3 durch eine substitutionsvariable z und du erhältst f(z)=z^2-29z+28

Dann p-q-Formel oder mitternachtsformel anwenden.

Answer 6

Weg ohne Substitution:

\(x^ 6 - 29x^3 +28=0\)      weil \(x^6=(x^{3})^2\)

\((x^3 - \frac{29}{2})^2=-28+(\frac{29}{2})^2=182,25|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^3 - 14,5=13,5\)

\(x^3 =28\)

\(x_1= \sqrt[3]{28} \)

2.)

\(x^3 - 14,5=-13,5\)

\(x^3 =1\)

\(x_2 =1\)

Answer 7

Du rechnest x^3=z und bekommst

z^2-29z+28=0

In der Annahme dass es darum geht die Nullstellen zu bestimmen.

Jetzt kannst du den quadratischen Term mit einer bekannten Lösungsformel lösen und dann wieder rücksubstituieren.

Comments

schonmal vielen Dank für die Antwort! :)

kann ich denn überhaupt aus der Lösung die dritte Wurzel ziehen (Rücksubstitution), obwohl ich mit z hoch zwei, anstatt mit z hoch drei gerechnet habe?

Answer 8

Falls Substitution nicht vorgegeben ist:

\( f(x)=x^6-29x^3+28      \)

\(x^6-29x^3+28=0    \)

\(x^6-29x^3=-28    \)  quadratische Ergänzung:

\(x^6-29x^3+14,5^2=-28+14,5^2=182,25\)    2.Binom:

\((x^3-14,5)^2=182,25|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^3-14,5=13,5\)

\(x^3=28\)

\(x_1=\sqrt[3]{28}\)

2.)

\(x^3-14,5=-13,5\)

\(x^3=1\)

\(x_2=1\)

Answer 9

Wegen $$ x^6-29x^3+28 = x^6-\left(1+28\right)\cdot x^3+1 \cdot 28 = \left(x^3-1\right)\cdot\left(x^3-28\right)  $$lassen sich die Nullstellen auch im Kopf bestimmen.