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Ich muss den Grenzwert mit Hilfe der Regel von Bernoulli-L'Hospital berechnen:

f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0


da 1/sin(x) für gegen Null gegen unendlich 

sowie auch 1/x für gegen Null gegen unendlich strebt, müssen wir die Regel verwenden.


Allerdings streben die Ableitungen von (1/sin(x)): -cos(x)/sin^2(x) 

sowie die Ableitung von (1/x) : -(1/x^2) beide wieder gegen minus unendlich. Die 2. Ableitung führt ebenso zu keinem Ergebnis für den Grenzwert. 


Mache ich was falsch oder gibt es einen bestimmten Trick?

lG Salmonhunter

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f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0

der Trick : als Bruch schreiben

f ( x ) = x / (sin(x)*x) - sin(x) / (sin(x)*x)
f ( x ) = ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) 
lim x −> 0  [  ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) ] = 0 / 0

L´Hospital
( 1 - cos(x) ) / ( cos(x)*x + sin(x)*1 )
lim x −> 0  [ ( 1 - cos(x) ) / ( cos(x)*x + sin(x)*1 )] = 0 / 0

L´Hospital 2.Mal
lim x −> 0  [ sin ( x) / ( 2 * cos(x) - x * sin(x) ) = 0 / 2 = 0

alle Angaben ohne Gewähr

Avatar von 122 k 🚀

Im ersten Schritt hast du also den Grenzwert berechnet ohne Lhospital oder wie kann ich mir das vorstellen ?

Hier kann man ´Hospital nicht anwenden
f(x)=((1/sin(x)) - (1/x)) für x ->0

der Trick : als Bruch schreiben

f ( x ) = x / (sin(x)*x) - sin(x) / (sin(x)*x)
f ( x ) = ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x)
lim x −> 0  [  ( x - sin(x) ) / (sin(x)*x) ] = 0 / 0
Hier kann ´Hospital angewendet werden.

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Tipp: für x gegen 0 gilt sin(x)≈x

Damit ist dann

1/sin(x)-1/x≈1/x-1/x =0

im Grenzwertprozess.

Avatar von 37 k

sin(x)≈x

Ohne genauere Erklärung von  " ≈ "  ist die Begründung falsch.

Gemäß Reihenentwicklung vom Sinus:

$$ sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+O(x^3)$$

Und betont werden sollte die Bedeutung von O(x^3) am Ende, weil O(x^2) nicht ausreicht (ich hoffe dass es klar ist, warum).

Gute Frage, da hab ich mir noch gar keine Gedanken zu gemacht! Aufgrund des Bruches führen quadratische Terme zu Änderungen im Grenzwertverhalten:

$$ \frac{1}{x+ax^2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x(1+ax)}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}(\frac{1}{1+ax}-1)\\=\frac{1}{x}(\frac{1+ax-ax}{1+ax}-1)=\frac{1}{x}(\frac{-ax}{1+ax})=(\frac{-a}{1+ax}) $$

Startet man bei x^3 und höheren Termen, dann strebt es gegen 0.

Gibt es da noch eine Begründung, bei der man nix rechnen muss?

Für kleine x ist  1/(1+x) = (1+x)^{-1} ≈ 1-x 
und für  f(x) = x + O(x^a) = x·(1+O(x^{a-1})  somit
1/f(x) ≈ 1/x·(1-O(x^{a-1}))

Es folgt  1/f(x) - 1/x ≈ 1/x·((1-O(x^{a-1})) - 1) = -O(x^{a-2})
und der Grenzwert für x→0 davon ist 0, falls a>2 ist.

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