Integral Aufgabe Schwimmbecken

Question

Hey habe folgende Aufgabe:

Ein quaderförmiges Schwimmbecken mit 9 m Länge, 7 m Breite und 2 m Höhe wird mit Wasser gefüllt.
Zu Beginn beträgt der Wasserstand 0.5 m.
Die Änderungsrate der Wassermenge (in m3 pro Stunde) ist durch folgende Funktion gegeben:

f(t) = 0.09*t+0.8

Nach wie vielen Stunden ist das Schwimmbecken gänzlich gefüllt?

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Hab so ähnliche Aufgaben schon gerechnet und bin auf folgenden Ansatz gekommen: 

0.09/2 y² + 0.8y - 94.5  (Anm. 94.5 = 9*7*0.5 - 9*7*2) 

und dann halt mit der Lösungsformel... kam jetzt jedoch bei zwei unterschiedlichen Aufgaben auf kein Ergebnis, hab die Aufgaben aber immer so gelöst...

Wo liegt denn mein Fehler? 

Answer 1

Hi,

der Ansatz ist gut.

Die Stammfunktion ist: $F(t)=\frac{0,09}{2}t^2+0,8t+C$

Diese Funktion gibt an wie viel Wasser sich nach $t$ Stunden in dem Becken befindet.

$C$ bestimmst du wie folgt: $F(0)=0,5$

Somit ist $C=0,5$

Deine Stammfunktion lautet also: $F(t)=\frac{0,09}{2}t^2+0,8t+0,5$

Nun gehst du wie du es auch zuvor getan hast vor: $94,5=\frac{0,09}{2}t^2+0,8t+0,5$

Die Gleichung lässt sich wie folgt schreiben: $0=\frac{0,09}{2}t^2+0,8t-94$

Oder auch: $0=t^2+\frac{80}{9}t-\frac{18800}{9}$

Nun die Nullstellen bestimmen. Natürlich ist die positive Lösung die richtige dann.

Comments

Der Wasserstand zum Zeit t=0 ist 0,5m. Das bedeutet nicht dass die Wassermenge zum Zeitpunkt 0 gleich 0,5 ist.

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Ahhhh, sorry.

$C=9 \cdot 7 \cdot 0,5= 31,5$

Danke für den Hinweis.

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Anschließend musst du die stammfunktion an den beiden Grenzen ausrechnen, nicht die Nullstellen.

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Man fragt ja nun danach wie lange das Wasser laufen muss, dass $94,5 \ m^3 - 31,5 \ m^3=63 \ m^3$ Wasser hinzukommen. Da die untere Integralgrenze 0 ist, muss man also $t$ so bestimmen, dass $0=\frac{9}{200}t^2+0,8t-63$ gilt oder nicht?

Was aber auf jeden Fall von mir noch falsch war, war die Beschreibung von $F(t)$. 

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Ich denke die untere integralgrenze ist nicht null sondern 31,5.

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Hallo Kofi,
Ich denke die untere integralgrenze ist
nicht null sondern 31,5.

ich meine :
Beim Integrieren würde der Wert wieder
herausfallen und fände somit eh keine
Berücksichtigung.
Siehe meine Antwort.

Answer 2

Zum Zeitpunkt t=0 sind im Becken 9*7*0,5=31,5m³. Deswegen heißt die stammfunktion

F(t)=0,045t²+0,8t+31,5

Answer 3

F(t) = 0.045·t² + 0.8·t + 9·7·0.5 = 9·7·2

F(t) = 0.045·t² + 0.8·t + 31.5 = 126

0.045·t² + 0.8·t - 94.5 = 0

t² + 160·t/9 - 2100 = 0 --> t = 37.79100341

Also nach ca. 37 Stunden 48 Minuten.

Answer 4

Änderungsrate ( m³ / h )

f ( t ) = 0.09 * t + 0.8

Stammfunktion
S ( t )  = 0.045 * t² + 0.8 * t + C

Integral zwischen 0 und t
S ( t ) minus S ( 0 )

0.045 * t² + 0.8 * t + C minus ( 0.045 * 0² + 0.8 * 0 + C )
C kürzt sich weg.
Der Klammerausdruck entfällt wegen t = 0

Menge zuströmenden Wassers

M ( t ) = 0.045 * t² + 0.8 * t
vorhandene Menge = 31.5 m³
Pool bei vollständiger Füllung = 126 m³

31.5 + ( 0.045 * t² + 0.8 * t ) = 126
t = 37.8 Std