Bestimmte Integrale/Interpretation

Question

ich habe folgende Aufgabe zu lösen. 

Berechnen Sie die bestimmten Integrale.

Interpretieren Sie diese anschließend. Zeichnen Sie dazu die Graphen von f über dem Intergrationsintervall. 

aufgaben : 

2                                                         2

⌠(x^2+1)dx    zweite Aufgabe ⌠(x-2)dx

1                                                         -1

ich habe jetzt die Stammfunktion berechnet 1/3x^3+1x und dann f(2)-f(1) gemacht und bekomme 10/3 FE raus. 

Jetzt soll ich das Interpretieren und malen, ich weiß nicht wie das gehen soll. 

 

Bei der zweiten Aufgabe ist das eine Integral ja -1 was muss ich dann machen?

Über eine Antwort mit Erklärung würde ich mich freuen! :)

Answer 1

Hi Charlotte,

das Ergebnis zum ersten Integral kann ich bestätigen. Beim zweiten ist dies jedoch nicht der Fall. Hier erhalte ich -4,5. Willst Du das selbst nochmals kontrollieren? Die erste Aufgabe hast Du ja richtig gelöst ;).


Zur Interpretation: Der Wert des Integrals ist der Flächeninhalt zwischen Kurve und der x-Achse in den gesetzten Grenzen. Beachte, dass die zweite Fläche "negativ" ist, da sie sich unterhalb der x-Achse befindet.


Grüße

Comments

danke das das erste Ergebnis richtig ist. Welches zweites Ergebnis meinst du?

Ich habe bis jetzt nur die erste Aufgabe berechnet.
Also ich bin gerade dabei, den graphen zu malen. die funktion ist doch zwischen 1 und 2 auf der x-achse oder? wie muss dann die funktion aussehen? x^2+1???


Wie ich das Interpretieren soll habe ich immer noch nicht verstanden, kannst du mir das vielleicht an der ersten Aufgabe erklären?


Bei der zweiten aufgabe würde ich auch vorgehen wie bei der ersten, allerdings muss ich ja beachten das die fläche negativ ist.. was muss ich dann machen? Das normal Intergratieren und dann /-1 oder was genau????

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danke das das erste Ergebnis richtig ist.

Das ist ja wohl Dein Verdienst^^.

 

Ich habe bis jetzt nur die erste Aufgabe berechnet.

Aso, ich dachte °-1° wäre das Ergebnis der zweiten Aufgabe ;).

 

Also ich bin gerade dabei, den graphen zu malen. die funktion ist doch zwischen 1 und 2 auf der x-achse oder? wie muss dann die funktion aussehen? x²+1???

Nein, die Funktion ist ja x^2+1 und diese liegt nicht "zwischen der x-Achse...".

Zeichne einfach die verschobene Normalparabel y=x^2+1 ein. Dann finde die Fläche, welche durch die Funktion, die Grenzen und der x-Achse begrenzt ist ;).

 

Wie ich das Interpretieren soll habe ich immer noch nicht verstanden, kannst du mir das vielleicht an der ersten Aufgabe erklären?

Machen wir erst die Aufgabe 2. Daran ist das leichter zu interpretieren ;).

 

Bei der zweiten aufgabe würde ich auch vorgehen wie bei der ersten, allerdings muss ich ja beachten das die fläche negativ ist.. was muss ich dann machen? Das normal Intergratieren und dann /-1 oder was genau????

Integriere ganz normal. Du wirst ein negatives Ergebnis erhalten. Wenn man bedenkt, dass wir an einer Fläche interessiert sind, muss man den Betrag von dem ganzen Integral nehmen. Also den Betrag des Ergebnisses.

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Ich rechne jetzt mal die zweite aufgabe und schreib dir dann mein Ergebnis okay?

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Gerne :)      .

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also ich habe als Stammfunktion 1/2x^2-2x heraus, ist das richtig?

Danach würde ich jetzt F(2)-f(-1) rechnen ist das richtig oder wäre das falsch?

Also ich habe das jetzt berechnet und bekomme -2-3/2 raus = -7/2 FE

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Die ersten zwei Zeilen sind richtig, Du solltest aber auf -2-5/2 kommen. Denn 1/2+2 = 2,5 (beachte beim Einsetzen in 1/2x^2, dass das Minus eliminiert wird).

Der Wert ist also -9/2 = -4,5

Die Fläche ist also |-4,5| FE = 4,5 FE, ok?

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wo habe ich denn die -5 herbekommen? o.O

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F(-1)=1/2*-1^2-2*-1 = 3/2

F(2)=1/2*2^2-2*2 =-2

so wo liegt mein Fehler?

dachte jetzt ich müsste F(2)-f(-1) rechnen?
wo ist denn der fehler?

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Bedenke, dass Du 1/2+2 = 1/2+4/2 = 5/2 hast. Und dann noch aus der Formel das negative Vorzeichen.

Gesehen? ;)

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F(-1)=1/2*(-1)²-2*(-1) = 1/2+2 = 5/2

F(2)=1/2*2²-2*2 =-2

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Juhu, danke jetzt weiß ich wo der Fehler lag.. ich hatte die Klammer vergessen!

ich habe nochmal eine dritte aufgabe gerechnet. 

3

⌠(2-1/2x^2)dx = Stammfunktion 2x-1^6x^3= f(3)-f(0) = 3/2 FE

0

ist diese Aufgabe richtig?

 

wie muss ich denn jetzt die jeweilige Aufgabe interpretieren? Wenn du es mir an eine Aufgabe erklären kannst, kann ich versuchen dann die nächste Aufgabe alleine zu machen und dir dann zu sagen wie meine intepretation wäre und du sagst dann ob es richtig ist oder nicht.. :) 

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Ja, die Fläche ist korrekt. Es sind 3/2 FE


Zur Interpretation der zweiten Aufgabe. Du hast diese schon gezeichnet? Nicht? Dann tu das mal. Du wirst eine Gerade erkennen. Zeichne nun noch die Begrenzungen x=-1 und x=2 ein. Die Fläche zwischen dem Graphen, den Grenzen und der x-Achse, kannst Du nun ganz leich berechnen -> Inhalt eines Dreiecks.

Vergleiche Dein Ergebnis mit dem der Integration ;).

Ich denke, das ist es was es zu interpretieren gilt -> Den Wert der Integration als Flächeninhalt erkennen.

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okay, ich versuch die gleich mal zu zeichnen. 

Ist diese aufgabe richtig?

4

⌠(3x^2-4x+1)dx = Stammfunktion 1x^3-2x^2+1x = 40FE?

-1

F(4)=4^3-2*4^2+1^4 = 36

F(-1)=(-1)^3-2*(-1)^2+1*(-1)=(-4)?

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So langsam hast Du den Dreh raus. Die Klammern sind richtig gesetzt!

Der Flächeninhalt stimmt ebenfalls ;).

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Naja es geht so, dass waren ja noch die einfachen Aufgaben, hier ist eine schwerer. 

5                                                5

⌠1/x^2 dx = ungeschrieben ⌠1*x^-2

2                                                2

von dem umgeschriebenem jetzt die Stammfunktion 1x-1x^-1?

wenn das richtig ist, mache ich wie gewohnt weiter und schreib dir dann gleich das Ergebnis. 

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Ich bin nicht sicher, ob ich es richtig lese...meintest Du F(x) = -1/x = -x^{-1} ?

Dann ist das richtig gewesen ;).

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Nein. :(
also das umgeschriebene müsste doch stimmen oder nicht?

1*x^-2? dann habe ich ja 1x-1x^-1 oder eben 1x-x^-1?


oder????? was habe ich falsch gemacht?

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Wieso hast Du zwei x'en ins Spiel gebracht?

Du gehst exakt so vor, wie Du auch bisher vorgegangen bist.

Für x^2 hattest Du 1/3x^3. Für x^{-2} hast Du nun... ;)

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also ich habe angenommen 1*x^-2

liegt mein fehler in dem ich 1 aufgeleitet habe auf 1x?

weil das ist ja mein zweites x.
weil x^-2 habe ich ja so aufgeleitet -1*x^-1


oder ist mein fehler bei ^-1? und das muss eher ^-3 heißen?!

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weil x^-2 habe ich ja so aufgeleitet -1*x^-1

Das ist völlig richtig.

 

also ich habe angenommen 1*x^-2

liegt mein fehler in dem ich 1 aufgeleitet habe auf 1x?

Ja, das ist der Fehler. Die 1 ist ein konstanter Faktor. Das wird nicht integriert.

 

Du hast also nun F(x) = -1*x^{-1} = -1/x und kannst nun die Sache beenden ;).

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kommt 3/10 FE als Ergebnis raus? 

1

⌠(x+1)^2  , dass ist ja eine binomische Formel. 

0

Ich habe die ausgerechnet/umgeschrieben in

1

⌠(x^2+2x+1)dx = Stammfunktion 1/3x^3+1x^2+1x = F(1)-F(0)= 7/3-0 = 7/3FE

0

ist das richtig oder was kommt raus? :) 

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Du hast in beiden Fällen richtig gerechnet! :)

Die binomische Formel aufzudröseln ist sehr geschickt, da man dann jeden Summanden einzeln abhandeln kann.


Ich bin allerdings nun auf dem Weg ins Bett. Aber ich sehe ich bin ohnehin überflüssig. Du machst das ja alles alleine :D.

Gute Nacht

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Nein, du bist nicht überflüssig. ich habe noch eine letzte Frage. wenn ich kein dx da habe sondern ein da oder dy was muss ich dann machen?

(3x^2+2a) dx? oder (3x^2+2a)da? oder x^2dy?

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Es ist wichtig zu erkennen, dass die Variablen welche nicht integriert werden als Konstant (also als einfache Zahl) aufgefasst werden.


Die Integration von   ax dx ist alos

∫ax dx = 1/2*ax^2


Von a+x ist sie:

∫a+x dx = ax+1/2*x^2


Für a+x nach a ist sie:

∫a+x da = 1/2*a^2+xa


Du siehst worauf es hinausläuft? :)

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das ich immer a wie x benutze oder was? :(
versteh das nicht!

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"immer" ist hier schwierig, da Du nicht sagst in welcher Beziehung^^.

Hast Du eine Integration nach "da", so gehst Du vor, wie Du normalerweise mit x vorgehst.


Hast Du allerdings ein a zu integrieren, es geht aber um eine Integration nach x, also dx, dann ist a wie e eine "normale" Zahl zu behandeln.

Siehe meine Beispiele ;). Ok?

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(3x^2+2a) ist die Stammfunktion 1x^3+2ax????


(3x^2+2a)da wie ist dann die Stammfunktion????
3x^2 aufgeleitet 1x^3? oder einfach 3x^2 mitnehmen? oder 3xa^2?

3a aufgelietet 1a?
x^2dy?  was mache ich denn da? 1*3x^3??

oder was muss ich da machen?

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∫(3x²+2a) dx = x^3+2ax   war völlig richtig

 

∫(3x²+2a)da = 3x^{2}a+a^2  Klar?

 

∫x^{2}dy = x^2*y

 

Wir hatten ja gesagt, dass die Buchstaben als Zahlen aufgefasst werden. x^2 ist also einfach 5. Und ∫5dy = 5y. Statt den 5 haben wir halt x^2. ---> x^2*y

 

Einverstanden? ;)

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Ich bin nun zu Bett. Falls noch was ist, schaue ich morgen wieder rein ;).


Grüße

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also 1 und 2 habe ich verstanden. 

okay drei verstehe ich so bisschen halb. 

 

wenn ich dann weiter rechne.. muss ich dann die Zahlen bei a einsetzen?

also 

1x^3+2ax  und dann die entsprechenden werte in a oder y einsetze? 

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Wenn Du nach "da" integrierst, dann sind die Zahlen in a einzusetzen. Dein Endergebnis hat dann halt noch Variablen ;).

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hey, du bist ja wieder da. 

ich habe jetzt einmal zu der Aufgabe

1

∫(3x^2+2a)dx = Stammfunktion 1x^3+2ax = 3-0=3FE?

0

 

1

∫(3x^2+2a)da= Stammfunktion 3x^2a+a^2 = 4FE?

0

die dritte aufgabe habe ich nicht verstanden 

2

∫x^2dy=Stammfunktion x^2*y 

1

wie muss ich die dritte aufgabe lösen??? 

---

Die jeweiligen Stammfunktionen hast Du korrekt bestimmt.

 

1.

[x^3+2ax]₀¹

 

2.

[3x^{2}a+a^2]₀¹

 

3.

[x^2*y]₁²

 

Jetzt musst Du die Grenzen einsetzen, d.h. nach der Variablen nach der Integriert hast, setzt Du die Grenzen ein. D.h. es bleiben Variablen übrig! Wo sind die bei Dir hin? ;) Der Flächeninhalt ist letztlich keine Zahl sondern ein Term!