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Gegeben ist folgendes Integral:

a∫-2 (x-1) * ex dx            oder             A= [(x-1) * ex]-2 a    mit Obergrenze = -2 / Untergrenze = a


Fragestellung: Existiert ein genauer Flächeninhalt ? 

Danke für eure Mühe !

Gruß Thomas

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@Thomas

f ( x ) = (x-1) * e^x
Stammfunktion
∫ (x-1) * e^x  dx
S ( x ) = e^x * ( x -2 )

Stimmt das erst einmal soweit ?

@georgborn bin mir nicht sicher, der parameter muss mit limes "behandelt" werden, dachte ich

Ein Parameter kommt bei mir noch nicht
vor.
Es geht mir darum ob die Funktion und die
Stammfunktion so richtig sind.

hab keine Lösung, ich weiß es nicht

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Beste Antwort

Hallo Thomey,

$$ \int_{a}^{-2} \! (x-1)·e^x \, dx = [e^x·(x - 2)]_a^{-2}=- 4·e^{-2}-e^a·(a-2) $$was meinst du mit 

Existiert ein genauer Flächeninhalt ? 

Da der Graph von f für x < -2 unterhalb der x-Achse liegt, ergibt sich für jedes feste a < -2  zwischen Graph und x-Achse  A = | - 4·e-2- ea·(a-2) |

für a → - ∞  [  ist kein Fächeninhalt definiert  (  | - 4·e-2- ea·(a-2) | → ∞ ) ] 

    Edit:   A = 4e-2   (vgl. Kommentare) 

Gruß Wolfgang

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für a → - ∞  ist kein Fächeninhalt definiert  (  | - 4·e-2- e^a·(a-2) | → ∞ )

?

Du hast natürlich recht:

| - 4·e-2- ea·(a-2) | →a→ -∞ = 4e-2   , wegen ea → 0

Sorry, hatte - überflüssigerweise :-) - im Rechner a→∞  eingetippt.

Ich denke aber , dass für a gegen - unendlich

der Term   | - 4·e^{-2}- e^a·(a-2) |   den Grenzwert 4*e^{-2} hat, also

sehr wohl eine sinnvolle Flächenmaßzahl angibt.

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Das Integral ist (2-a)*e^a - 4/e^2 .

Als Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und Funkionsgraph

kannst du das in manchen Fällen interpretieren.

z.B. für a<-2  und für -2 < a < 1 (dann allerdings den Betrag nehmen.)

Für a>1 nur als Differenz zweier Flächeninhalte.

~plot~ (x-1)*e^x ~plot~

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Eine Skizze des Flächeninhalts

gm-22.JPG Die Formel für den Flächenihalt ist

A ( a ) = | - 4·e^{-2}- e^a * (a-2) |

und ist somit vom Parameter a abhänig.
Geht lim a −> -∞ ist | - 4·e^{-2}- e^a * (a-2) |
= 4·e^{-2} = 0.5413

Bei Bedarf nachfragen.

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