Kombinatorik und Stochastik: Peter würfelt mit einem Würfel

Question

Aufgabe:

Peter würfelt mit einem Würfel, der auf zwei Seitenflächen einen roten Kreis, auf zwei Seitenflächen einen grünen Kreis und auf je einer Seitenfläche ein Kleeblatt und ein Herz trägt.

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier Würfen genau einmal "Herz" zu würfeln?

Ich habe die Aufgabe zwar bereits gelöst ≈38.6%. Kann man die Aufgabe vielleicht irgendwie mit Kombinatorik leichter machen.

Ich hasse es immer die verschiedenen Möglichkeiten aufzuzählen und dann zu addieren. Kann ich da irgendwie Kombinatorik einbringen?

In der Kombinatorik würde die Aufgabe so vielleicht lauten:

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim vier-fachen Würfeln, wenn mindestens bei jenem Wurf einmal Herz dabei sein muss.

Kann man das ausrechnen; bringt mir das was?

Answer 1

(4 über 1)*1/6*(5/6)^3

=4*1/6*(5/6)^3

=4*125/6^4

=500/1296

=38,58%

Answer 2

Binomialverteilung mit n = 4 ; p = 1/6 ; k = 1
P(X = 1) = (4 über 1)·(1/6)^1·(5/6)^3 = 0.3858

Comments

Ist die Binomialverteilung universell anwendbar?

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Du bist doch ein guter autodidakt. Schau dir doch mal den Wikipedia Artikel zur Binomialverteilung an.

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Wenn die Bedingungen der Binomialverteilung erfüllt sind ja. Universell garantiert nicht.

Keine Formel ist universell und auf alles anwendbar.

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Sonja wirft mit 3 Münzen gleichzeitig, und zwar mit je einer deutschen 1-Cent, 2-Cent und 5-Cent-Münze.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine "Eichenlaub" zeigt.

1-(3 über 3)*(1/2)^3*(1-(1/2))^{3-3}=(7/8)=87.5%

Das stimmt schonmal. Wenn das universell anwendbar ist, ist die Binomialverteilung ja das Beste jemals.

Du bist doch ein guter autodidakt.

Hmm, gott sei dank, sonst würde ich nichts verstehen ;) Ein Hoch auf Mathelounge und das Internet

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Okay,

Anscheinend sind das die Anforderungen:

1. Es muss eine feste Anzahl an Versuchen (n) geben

2. Die Wahrscheinlichkeit "p" muss konstant bleiben.

3. Die Versuche müssen unabhängig sein

4. Jeder versuch darf nur zwei verschiedene Ergebnisse haben: "Erfolg" oder "Misserfolg"

am i right?

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Ja das klingt gut.

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Okay, dann ist es so halb universell anwendbar. Die meisten Zufallsexperimente entsprechen den Bedingungen.

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Die Binomialverteilung ist anwendbar auf zufallsversuche die den obigen Bedingungen entsprechen.

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Hier ein perfektes Beispiel Zeit zu sparen:

Die drei Münzen werden wieder zweimal nacheinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau eine Münze "Zahl" zeigt.

n=6

k=1

p=0.5

(6 über 1)*0.5^6*(1-0.5)^{6-6}

=(3/32)

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Versuche mal

In einer Autoproduktion haben etwa 5% der Autos einen Fehler in der Lackierung der nachgebessert werden muss.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das bei einer Tagesproduktion von 100 Autos genau 5 nachgebessert werden müssen. [0.1800]

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Bei einem Großhändler stehen 1000 Autos von denen 5% einen Lackschaden haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Auswahl von 100 Autos genau 5 zu finden, die einen Lackschaden haben. [0.1897]

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Warum kommt bei den beiden Aufgaben etwas unterschiedliches heraus? Wo ist da der Unterschied in der Rechnung?

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In einer Autoproduktion haben etwa 5% der Autos einen Fehler in der Lackierung der nachgebessert werden muss.

n=100

k=5

p=0.05

(100 über 5)*0.05^{5}*(1-0.05)^{100-5}

≈0.1800178273=18%

Überlege gerade bei der anderen

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Bei einem Großhändler stehen 1000 Autos von denen 5% einen Lackschaden haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Auswahl von 100 Autos genau 5 zu finden, die einen Lackschaden haben.

Wenn von 1000 Autos 5%  einen Lackschaden haben sind das 50 Autos. Wenn von 100 Autos  5% einen Lackschaden haben sind es 5 Autos. Genau die zu finden wäre doch:

(5/100)*(4/99)*(3/98)*(2/97)*(1/96)=1.328*10^{-8}

Nein, das wäre die alle hintereinander zu finden.
Hä, ich checks nicht.

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Dieses Beispiel funktioniert mit der hypergeometrischen Verteilung. Du kannst dir auch diese auf Wikipedia ansehen.

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Sehr interessant Nur leider komme ich auf dasselbe Ergebnis

H=((5 über 5)*(95 über 0))/(100 über 5)≈1.32824*10^{-8}

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P(k=5)=(50 über 5)*(950 über 95)/(1000 über 100)

           =18,97%

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Guck ich mir morgen nochmal an. Jetzt bin ich zu müde *gähn*

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Koffi,$$ H=\frac{\begin{pmatrix} K \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N-K \\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n\end{pmatrix}} $$

N= Gesamtmenge

K= Objekte, die von den anderen unterscheidbar/anders sind.

n= Stichproben der Gesamtmenge  (ohne Zurücklegen)

Was bedeutet klein "K", verstehe das irgenwie nicht?

Sollte n nicht immer gleich k sein?

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Bei der Binomialverteilung müssen n und k doch auch nicht gleich sein.

n ist die Anzahl der Kugeln die gezogen werden.

k ist die Anzahl der Kugeln die dabei eine gewisse Bedingung erfüllen. Z.B. das die Kugeln eine bestimmte Farbe haben.