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Bestimmen Sie alle Punkte a, b, c ∈ ℝ, für die die folgende Gleichung erfüllt ist.

limx→∞ [√(x4+x²+1) - (ax² + bx +c)] = 0

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle Punkte a,b,c ∈R, für die die folgende Gleichung erfüllt ist. Limes(.... ) = 0

Stichworte: limes,grenzwert,wurzel,differenz,analysis

Hat jemand eine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen könnte.

Wir sollen alle Punkten a,b,c bestimmen .. es wäre schön .. wenn jemand einen Tipp gibt :)

Bestimmen Sie alle Punkte a, b, c ∈ ℝ, für die die folgende Gleichung erfüllt ist:

$$ \lim\limits_{x\to\infty} \left( \sqrt{x^4 + x^2 + 1} - (ax^2 + bx + c) \right) = 0 $$

wie bist du aber dabei gekommen ?

Ich habe jetzt neben wurzel auch noch differenz bei den Tags ergänzt. Du solltest deine Frage im Kommentar nun mit den "ähnlichen Fragen" unten selbst beantworten können.

Gute Nacht

  Genau   . diese Frage muss gelöscht wwerden , weil sie doppelt gestellt ist .

   Hier der  "  Mathemathemathe "  hat dich doch voll gelinkt, würd ich mal sagen.

   Der  baggert uns hier  alle schräg von Links an, weil der hofft, dass wir dem seine Arbeit machen. Schau mal nach in den Guidelines von des Forums " Wer weiß was.de "

   " Denke immer daran, dass niemand es nötig hat, sich mit deinen Problemen zu beschäftigen. "

   Dieser Mathemathemathe geht also zu dem selben Professor.

   In die selbe Vorlesung wie du.

   Denn es ist exakt die selbe Aufgabe vom selben Tag.

   Vielleicht kennst du ihn ja und hast ihn gefragt, ob er schon eine Lösung hat.

   Und da hat er dir geantwortet, was alle Studenten sagen; insbesondere die  schlechten, die Abschreiberlinge.

   "  Nein. Ich hatte noch keine Zeit. Und außerdem habe ich es selbst noch nicht so genau verstanden ... "

   Siehst doch; schau dir mal den Kommentar an. Der ist also von einem Typ, der einfach nicht ertragen kann, dass irgendjemand irgendwas löst.   Von einer Studentin bekam ich übrigens schon den Kommentar

   " Ich fürchte, mein assistent ERLAUBT MIR NICHT, DASS ICH DAS WEISS,  WAS DU MIR EBEN ERKLÄRT HAST ... "

   Hier ich kannte mal eine;  " Birgitta-Christiane "  Wie die gesprochen hat, lässt sich leider mit den Mitteln der Feuerzangenbowle nicht darstellen.

   " Nie werde ich zu einem Professor gehen oderden irgendwas fragen. Vielleicht hält der mich ja für eine komische Nudel.

   Und wenn ich dann Prüfung machen will. Dann erinnert der sich an mich; ach das war ja die alberne, die immer nur Unsinn geredet hat ... "

3 Antworten

+1 Punkt

  Nicht verzagen - Pappi fragen. Da gibt es einen genialen User, dessen Name mir längst entfallen ist. Doch man muss zitieren und darf sich nicht mit fremden Federn schmücken.

   Das alles spielte sich ab auf einem Portal, das längst der Vergangenheit angehört. Trotzdem ist sein Name hier tabu; das wird überwacht und ist Teil der Guidelines. Nennen wir es Pipapo.  In barocker Pracht gaben sich bei Pipapo matematische Spitzenkönner die Hand mit Dirnen, die sich als Oberschülerinnenausgaben.

   Jenes Genie nun schlug für die Behandlung von Wurzeln eine ===> Inversion vor; allerdings stellte sich dann doch heraus, dass der Ansatz nicht allgemein, nicht flexibel genug war. Du musst setzen


     x  ^  r  =:  1 / z  ^  m       ;   m  €  |N   ;  r  €  |R         (  1  )


    Dabei ist r die höchste im Radikanden vorkommende Potenz von x . Wir haben x ² so wie x ^ 4  , also  r  =  4  .  Und m ist die Ordnung der Wurzel, hier m = 2 für Quadratwurzel.   Damit ergibt sich in unserem Fall


      x  ^  4  =  1 /  z  ²        (  2a  )

     x  ²  =  1 / z      (  2b  )

     x  =  1 / sqr ( z )     (  2c  )

  F ( x ) = F ( z ) = sqr ( 1 / z ² + 1 / z + 1 ) - ( a / z + b / z ^ 1/2 + c )  =  (  3a  )

  = ( 1/z )  [  sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2 + a  )  ]     (  3b  )


     Sinn und Zweck dieser Strategie ist immer, dass der Faktor ( 1/z ) vor die eckige Klammer tritt. Natürlich müssen wir jetzt den Grenzwert   z gegen Null durchführen.  Gleich als Erstes fällt schon mal unangenehm auf, dass der  Zähler gegen 1  -  a  geht; nur für a = 1  , also den Fall 0 : 0 können wir überhaupt Konvergenz erhoffen.


   F ( z ) = ( 1/z )  [  sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2  )  -  1  ]   (  4a  )


   Bei Lichte besehen ist doch ( 4a ) nichts anderes als der Differenzenquotient  (  DQ  )  der Funktion


     f  (  z  )  :=  sqr ( z ² + z + 1 ) - ( c z + b z ^ 1/2  )      (  4b  )


     genommen zwischen z0 = 0  und der beliebigen Stelle z . Schlicht und ergreifend, weil  ja  f  (  0  )  =  1   Und  der Grenzwert dieses DQ , das wisst ihr, ist die Ableitung f ' ( 0 ) und damit gleichzeitig das gesuchte Ergebnis.


                                   2 z + 1   

     f ' ( z )  =       ----------------------------------  -  c  -  b / 2 z ^  1/2     (  4c  )

                               2  sqr ( z ² + z + 1 )


    Also das geht schon mal gleich gar nicht;  die Wurzelfunktion ist für z = 0 nicht differenzierbar. Der b-Term in ( 4c ) macht uns gehörigen Ärger;  wir müssen verlangen b = 0 .

   Ich schick erst mal ab; im Momewnt hab ich nämlich keine Zeit. Wir sind ja fast fertig. Ich will nur den Link wieder finden.

Beantwortet von 5,5 k

  So jetzt hab ich wieder Zeit.  Was überlebt in ( 1.4c ) ?


  lim  =  1/2  -  c  =  0  ===>  c  =  1/2     (  2.1  )


   Zassen wir zufammen :  a = 1 , b = 0 sichern überhaupt erst mal die Konvergenz. Und den speziellen Wert des Limes kriegst du nur für  c = 1/2 .

   Übrigens; ich prozessiere ja schon seit Jahrenden in der Sache. Und da konnte es nicht fehlen, dass  ein Kommentar bei mir eintrudelte

  " Wenn man so Aufgaben mit einer Tricktransformation löst. Wieso ' lernt ' man uns dann och Definitionsbereich? "

Was hast du geraucht?

  Warst du auch mal bei Pipapo?  Deine Frage weckt bei mir seltsam nostalgische Gefühle.  Was willst du eigentlich?

     1)  Ich zitiere -  also kein Grund, an meiner Person herum zu kritisieren.

     2)    Die Frage beantworte ich Konkurrenz los vollständig.

     3) Der einzige Konkurrent, der  auch einen Ansatz veröffentlicht, macht nur ganz ungenügende Darlegungen.

    4)  Fehler scheinst du bei mir nicht zu bemerken.

    5)  Mir ist aber durchaus unklar,    ob du meine Darlegungen überhaupt begreifst.

     6)  Profilieren könntest du dich beispielsweise, indem du einen besseren Ansatz vorstellst.


     "  Ruhe auf den billigen Plätzen !  Wer hat Kuchen verlangt, dass du Krümel dich meldest? "

   Ein historischer Zusatz über das o.e. Portal Pipapo  .  Bei Pipapo ging es auch um einen Grenzwert  n  ===>  ( °°  )  ,  nur dass du anstatt der Quadratwurzel einen Term mit Kubikwurzeln zu untersuchen hattest.  Und da kam jene Antwort mit der Inversion, auf die ich mich seitdem beziehe.  A Propos; wie lautet die Definition vom Kubikmeter?

  " Ein Kubikmeter ist, wenn sich eine Kuh einen Meter bikt .. "

   Bist du eigentlich Typ Angeber? Wohl nicht; denn Angeber saugen fremde Ideen, fremde Scherzfragen und fremde Witze auf wie ein Schwamm, um bei Gelegenheit selber damit glänzen zu können ...

Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/551752/bestimmen-sie-alle-punkte-fur-die-folgende-gleichung-erfullt

EDITLu(18.6.)Duplikat wurde inzwischen hierhin umgeleitet. 

  Möchtest du mir etwas sagen?  Weil leider hast du einen Selbstbezug; du sagst " Schau mal hier " und gibst mir gleichzeitig obige aktuelle Adresse von genau dieser Frage. Da liegt doch sicher ein falscher Irrtum vor.

+1 Punkt

Tipp: Zeige zunächst \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^4+x^2+1}-x^2\right)=\tfrac12\).

Beantwortet von

Tipp von nn kannst du zeigen wie:

Auf den Grenzwert 1/2 kommt man z.B. so wie hier: https://www.mathelounge.de/244448/den-grenzwert-der-funktion-bestimmen-lim-x-2-x-1-x-2-5

@nn: Mach bitte aus deinem Kommentar eine Antwort, damit dein Vorschlag nicht untergeht.  Alternative: Eine Antwort auf die Frage.

Das x^2 in dem Tipp von nn.


Das x^2 von nn ist im Prinzip √(x^4). Man erhält es, wenn man a=1, b=0 und c=0 verwendet.

@Lu

Vielen Dank für die Antwort! 

0 Daumen

 [√(x^4+x²+1) - (ax² + bx +c)]

x^2 *  [√(1+1/x²+1/x^4) - (a + b/x +c/x^2)]

Damit das für x gegen unendlich gegen 0 geht, muss

die eckige Klammer gegen 0 gehen, also muss gelten

a=1 .  b und c beliebig.

Beantwortet von 144 k
x2 *  [√(1+1/x²+1/x4) - (a + b/x +c/x2)]
Damit das für x gegen unendlich gegen 0 geht, muss
die eckige Klammer gegen 0 gehen ...

Das ist natürlich richtig, aber was ist mit der Umkehrung?

aber was für X2 wenn wir ∞ einsetzen , dann erhalten wir ∞·0 aber dies kein Lösung ..?

@Analysis Dü

Beschäftige dich mal der Antwort (EDIT 18.6.) von nn und meinem Link im Kommentar von gestern.

@Lu

Wo kommt das x^2 her?

EDIT: Es handelt sich inzwischen um die Antwort von nn .

Hast du den richtigen Link gefunden? Welches x^2 meinst du?

 mathefs Antwort ist noch nicht schlüssig. a=1, b c beliebig kann nicht passen.

Gegenbeispiel: Antwort von nn.

@Lu

Das x^2 in dem Tipp von nn.

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