Partielle Ableitungen von f(x,y) = (x^2 y + xy^2)/(x^2 +y^2) falls (x,y) ≠ (0,0) // 0 Sonst ?

Question

$$f(x,y)=\frac{x^2y+xy^2}{x^2+y^2}falls(x,y)≠(0,0)$$

0 sonst

Für diese Funktion soll ich die Partiellen Ableitungen δ_x  und δ_y berechnen für alle (x,y) ∈R^2.

Die Partiellen Ableitungen für x und y habe ich berechnet, für den Fall, dass (x,y) ≠ (0,0) ist. Ist ja einfach der erste Term mit Quotientenregel abgeleitet. Wie muss ich das jetzt genau für (0,0) machen ?

MfG

Answer 1

Hallo

 Gruß lul

für 0,0 musst du den GW des Differentialquotienten berechnen,

Comments

Dann auch zwischen x und y = 0 Unterscheiden ? Es lautet ja:

lim_x->0 $$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x-0}$$ oder? Und dann nochmal für y = 0?

Vielen Dank für die Schnelle Antwort!

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Die funktion sei angeblich NICHT stetig Partiell differenzierbar, allerdings bekomm ich bei meiner Rechnung oben doch auf 0 als Grenzwert.

Wo liegt mein Fehler ?

MfG

Answer 2

Die Funktion sei angeblich NICHT stetig partiell differenzierbar

partielle Ableitungen können durchaus existieren, aber selbst nicht stetig sein. In solchen Fällen ist die Funktion nicht stetig partiell differenzierbar.

Für  (x,y) ≠ (0,0)  kann man die partielle Ableitung \(\frac { ∂f }{ ∂x }\) einfach mit der Quotientenregel ausrechnen:$$\frac { ∂f }{ ∂x }(x,y)=-\frac { y^2·(x^2-2xy-y^2) }{ (x^2+y^2)^2 }$$Betrachtet man nun für diesen Term die Folgen (1/n , 1/n)  und (1/n , 2/n), die [für n→∞] beide gegen (0,0) streben, so ergeben sich sich beim Einsetzen in \(\frac { ∂f }{ ∂x }(x,y)\) die verschiedenen GW  1/2 bzw. 28/5

\(\frac { ∂f }{ ∂x }\) kann also in (0,0) nicht stetig sein
und damit ist f sicher nicht stetig partiell differenzierbar.

Gruß Wolfgang

Comments

Dann muss ich also gar nicht den Grenzwert vom Diff.Quot. anwenden ?  Denn dabei komm ich ja auf null und das ist doch stetig.

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Wenn dieser GW exisitert, ist f  an der betreffenden Stelle partiell  differenzierbar.

Wenn diese partielle Ableitung aber - wie hier - an einer Stelle nicht stetig ist, ist f nicht stetig partiell differenzierbar.

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Ja das habe ich verstanden, danke.

Aber ich dachte, man muss den Differenzenquotienten benutzen um die Ableitung IN (0,0) zu bekommen.

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Das ist auch richtig.

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Aber komme ich dann nicht auf 0 mit dem oben genannten Argument ? Wenn ich erst betrachte, dass x gegen 0 geht und danach y ?

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Ist denn der Differenzenquotient nicht einfach 0 ?

lim_x->0  ($$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x-0}$$)

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Nein. Da hast du die falsche Antwort als beste Antwort ausgezeichnet.

Lies die Antwort von Wolfgang ganz genau. 

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Habe ich, aber heißt das, dass man den DQ gar nicht benötigt für diese Aufgabe ?

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Nein, es reicht mit den bekannten Ableitungsregeln zuarbeiten.

Den DQ braucht man nur in  ganz schlimmen Fällen.

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Aber wieso genau nicht in diesem ? Ich hab das eigentlich schon so gelernt, dass man in solchen "kritischen Punkten" wie der 0 hier den DQ nutzen sollte ? Der ja glaub ich 0 wäre.

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Was ist denn dann bitte die partielle Ableitung im Punkt (0,0)?

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Was ist denn dann bitte die partielle Ableitung im Punkt (0,0)?

Die partielle Ableitung gibt es da nicht. Allenfalls die partielle Ableitung nach x oder dann halt nach y. Aber auch das ist nicht sicher, bevor man das untersucht hat.

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Nach Definition der Funktion ist \(f(x,0)=0\) für alle \(x\) und \(f(0,y)=0\) für alle \(y\). Daraus folgt \(f_x(x,0)=0\) für alle \(x\) und \(f_y(0,y)=0\) für alle \(y\). Speziell also \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\). Du kannst das auch explizit mit den Differenzenquotienten im Nullpunkt ausrechnen. Musst sie bloss richtig hinschreiben (nicht so wie in Deinem Kommentar oben).

Answer 3

  ===>  Johann Sebastian; Kaffeekantate

   " Was ich immer alle Tage

     Meiner Tochter Lieschen sage / Gehet ohne Frucht vorbei. "

     Quotientenregel  (  QR  )  Absolut  TÖDLICH ist die; ihr müsst sie meiden wie die Pest. Und das sage ich euch bereits bei einer Funktion von einer Veränderlichen .

   Wen willst du damit beeindrucken, dass du sagst, die QR sei " einfach "

   Einfach schon mal gar nicht. Doch; es gibt so etwas wie psychopatische Metoden in der Matematik. Von Heisenberg stammt ja der Satz

   " Die Schönheit matematischer Systeme erschließt sich dem Laien nicht. "

   Die QR kann er damit nicht gemeint haben ...

   Das Argument, das bisher jeden überzeugt hat. Die falsche Asymptotik der  QR  .

   Die Ableitung eines Pols der Ordnung 4 711 ergibt einen Pol der Ordnung 4 712 .

     Aber der v  ²   Term im Nenner der QR  suggeriert einen Pol der Ordnung 9 422 .

   Bringen wir doch erst mal alles auf ganz rationale Form:

   (  x  ²  +  y  ²  )  f  =  x  ²  y  +  x  y  ²        (  1  )

    Jetzt  ===>  implizites Differenzieren; Ableiten nach x mittels Produkt_und Kettenregel

  (  x  ²  +  y  ²  )  f_x  +  2  x  f  =  2  x  y  +  y  ²        (  2  )

    Jetzt Polarkoordinaten einsetzen   in  (  2  )

      x  =:  r  cos  (  ß  )  ;  y  =:  r  sin  (  ß  )      (  3a  )

    r ² f_x ( x : y ) + 2 r f ( x ; y ) cos ( ß ) = r ² [ sin ( 2 ß ) + sin ² ( ß ) ]  |  :  r  ²    (  3b  )

     f_x ( x : y ) + ( 2/r )  f ( x ; y ) cos ( ß ) = sin ( 2 ß ) + sin ² ( ß )    (  3c  )

   Es ist absehbar, dass es schief geht; die rechte Seite von ( 3c ) hängt ausschließlich vom Azimutwinkel ß ab und wird daher im Ursprung mehrdeutig bis Undefiniert.

   Und die Funktion f geht im Zähler mit r ³ , im Nenner mit r ² . Per Saldo also mit r ^ 1  ; und genau diese r-Abhängigkeit kürzt sich heraus auf der linken Seite von ( 3c ) wir haben lauter undefinierte Ausdrücke.