Gezwungene Regressiongerade durch den Ursprung

Question

Hi Leute meine Frage an euch ist wie man eine gezwunge Regressionsgerade macht, die durch den Ursprung vorläuft. Muss ich ohne Excel machen, sondern schriflich.

Meine Punkte sind diese

Links x und rechts y Werte

263,7            26,4

476,99          52,8

692,74          79,2

909,63          105,6

1120,91        132

1324,96        158,4

Comments

Hallo

 wie eine normale Regression, für y=mx+b mit b=0

Gruß lul

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Ja das ist korrekt. Nur kenne ich nicht den Rechenweg. Das brauche ich.

Answer 1

Hallo Marx,

die kurze Fassung ist: die Normalgleichung lautet allgemein: $A^TA\cdot \alpha = y$ In Deinem Fall wird nur ein Wert für die Steigung der Gerade gesucht, folglich besteht hier der Vektor $\alpha$ nur aus einem Element, aus der Steigung. Der Zusammenhang ist linear, daraus folgt: $$A= \begin{pmatrix} 263,7 & 476,99 & 692,74 & 909,63 & 1120,91 & 1324,96\end{pmatrix}^T$$ und der Y-Vektor ist wie gehabt:  $$y = \begin{pmatrix} 26,4 & 52,8 & 79,2 & 105,6 & 132 & 158,4 \end{pmatrix}T$$ Einsetzen in die Normalgleichung gibt: $$4616330,8243 \cdot \alpha = 540902,472 \quad \Rightarrow \alpha \approx 0,1172$$ Eine Skizze zur Verifikation:

Die blauen Quadrate sind die gegebenen Punkte und die orangen Rauten die Punkte aus der Regressionsrechnung.

Die lange Version: Eine Gerade durch den Ursprung hat die allgemeine Form $y=mx$. $m$ ist die Steigung. Existiert ein $m$, so ist das Delta $\Delta_i$ gegenüber jedem gegebene Wert $(x_i, \, y_i)$: $$\Delta_i = y_i - m\cdot x_i$$ Das Ziel ist es, die Summe aller Quadrate dieser Abweichungen zu minimieren - also: $$\sum \Delta_i^2 = \sum (y_i - m\cdot x_i)^2\to \min$$ Dazu leitet man die Summe nach $m$ ab und setzt es zu 0: $$\frac{\partial \sum \Delta_i^2}{\partial m} = \sum 2(y_i - m\cdot x_i)x_i = 0$$ Daraus folgt: $$\begin{aligned} \sum 2(y_i - m\cdot x_i)x_i &= 0 \\ \sum (y_i - m\cdot x_i)x_i &= 0 \\ \sum y_ix_i - \sum m\cdot x_i^2 &= 0 \\ m \sum x_i^2 &= \sum y_ix_i \\m &= \frac{\sum y_ix_i}{ \sum x_i^2}\end{aligned}$$ Und da $$\sum x_iy_i = A^T \cdot y = 540902,472$$ und $$\sum x_i^2= A^T\cdot A = 4616330,8243$$ ist die Rechnung - und somit auch das Ergebnis - das selbe wie oben: $m\approx 0,1172$.

Gruß Werner

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Danke hast es wirklich gut erklärt.

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Nur habe eine Frage in der kürzeren version wie hast du es genau berechnet. Konnte dir dort nicht folgen.

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UUnd was genau ist dieses hoch T?

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Sorry habe es jetzt verstanden.

Danke vielmals.

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Doch nicht was ist dieses hoch T oder an sich das T.

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Danke hast es wirklich gut erklärt.

freut mich :-)

was genau ist dieses hoch T?

Das 'hoch T' ist die Transponierte einer Matrix. Die Originalmatrix $A$ ist

$$A= \begin{pmatrix} 263,7 \\ 476,99 \\ 692,74 \\ 909,63 \\ 1120,91 \\ 1324,96\end{pmatrix}$$ und das transponierte $A \to A^T$ ist das ganze auf die Seite gelegt:

$$A= \begin{pmatrix} 263,7 & 476,99 & 692,74 & 909,63 & 1120,91 & 1324,96\end{pmatrix}^T$$ In diesem Fall ist $A$ ein Vektor, da nur eine Spalte vorhanden ist.

... wie hast du es genau berechnet?

und $A^T\cdot A$ ist das Skalarprodukt - also jeder Wert wird mit sich selbst multipliziert und die Ergebnisse werden addiert. $$A^T \cdot A = 263,7 \cdot 263,7 + 476,99 \cdot 476,99 + \dots$$ Siehe hier unter 'Skalarprodukt berechnen'. Für $y$ bzw. $A^T \cdot y$ gilt das gleiche.

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... schaue Dir bitte auch meine Antwort zu dieser Frage an.

Answer 2

Jedem das Seine ;-):

$f(x) \, := \, a_1 \; x$

dazu geben wir die Abweichungsquadrate an

$R_k = \left\{ \left(f_k\left(X_k \right) - Y_k \right)^{2}, k= 1…n \right\}$

$R= \left\{ 69537.69 \; a_1^{2} - 13923.36 \; a_1 + 696.96, 227519.46 \; a_1^{2} - 50370.144 \; a_1 + 2787.84, 479888.708 \; a_1^{2} - 109730.016 \; a_1 + 6272.64, 827426.737 \; a_1^{2} - 192113.856 \; a_1 + 11151.36, 1256439.228 \; a_1^{2} - 295920.24 \; a_1 + 17424, 1755519.002 \; a_1^{2} - 419747.328 \; a_1 + 25090.56 \right\}$

die wir aufsummieren

$Q = \sum_{k=1}^{n}R_k$

$Q \, := \, 4616330.824 \; a_1^{2} - 1081804.944 \; a_1 + 63423.36$

$Min:\; Q\; d a_1=Q'=\;0$

$9232661.649 \; a_1 - 1081804.944 =0$  ====> $a_1 = 0.11717$

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Danke mann für die hilfreiche Antwort.