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$$ 3.3 \overline { 24 } $$

Die Zahl ist eine periodische Zahl und diese will ich als Bruch haben.

3 ist ja klar bedeutet 3 ganze aber was mache ich mit 0.324

von

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100x = 332.4242422424.... (I)

x = 3.324242422424...        (II)

------------------------------------  (I) -(II)

99x = 332.4242422424.... - 3.324242422424... = 332.42 - 3.32 = 329.1

x = 329.1/99

= 3291/990

= 1097/330

von 150 k
+2 Daumen

Hallo,

ein Bruch mit Periode ist letztlich eine unendliche geometrische Reihe: $$3,3\overline{24} = 3,3 + \frac1{10} \left( \frac{24}{100} + \frac{24}{100^2} + \frac{24}{100^3} +  \dots\right) = 3,3 + \frac{24}{10} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{100^i}$$ und dafür gibt es eine Formel: $$\sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q}$$ .. noch aufpassen, dass \(i\) bei \(1\) und nicht bei \(0\) beginnt - also ist $$\sum_{i=1}^{\infty} q^i = \left( \sum_{i=0}^{\infty} q^i \right) - q^0= \frac{1}{1-q} - \frac{1-q}{1-q} = \frac{q}{1-q}$$ in unserem Fall ist \(q=1/100\). Einsetzen gibt dann: $$3,3\overline{24} = 3,3 + \frac{24}{10} \cdot \frac{1/100}{1 - 1/100} = 3,3 + \frac{24}{10} \cdot \frac{1}{99} \\ \quad = \frac{33}{10} + \frac{8}{330} = \frac{1089+ 8}{330} = \frac{1097}{330}$$

von 18 k
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$$3.3\overline{24}=\dfrac{33+0.\overline{24}}{10}=\dfrac{33+\dfrac{24}{99}}{10}=\dfrac{\:\dfrac{33\cdot99+24}{99}\:}{10}=\dfrac{33\cdot99+24}{10\cdot99}=\dfrac{3291}{990}$$Das habe ich im Kopf gerechnet, also bitte nachrechnen.

von 15 k
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Hallo

1/99=0,01010....

2,4/99=24/990=0,02424...

3/10+24/990=0,3242424

Gruß lul

von 21 k
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3.3p24

= (3324 - 33) / 990

= 3291 / 990

= 3291 / 990

= 1097 / 330

Interessant für dich ist die Herleitung von Gast az0815

(33 * 99 + 24) / (99 * 10)

= (33 * 100 + 24 - 33) / (99 * 10)

= (3324 - 33) / (990)

Auf diese vereinfachte Schreibweise ist ein Schüler aus der 7. Klasse gekommen.

von 281 k

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