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hallo bräuchte mal Tipps oder Lösungshinweise für eine Aufgabe:

Aufgabe: Zeige im Rahmen der gewöhnlichen Division zur Erlangung der Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen für periodische Dezimalbrüche mit Periodenlänge s ∈ ℕ folgende Regel gilt...

0,d1,....,ds = d1 ...ds /9...9 , wobei dk  ∈ {0,1,....,8,9} die jeweiligen Dezimalstellen bezeichne

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1 Antwort

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Da musst du ja rechnen
d1 ...ds   :  9...9    wobei der Divisor aus s 9en besteht.
Jetzt muss man zwei Fälle unterscheiden.
1. Fall alle dk sind gleich 9. Dann geht es genau 1-mal hinein
und du erhälts 0,periode9 = s9en / s9en = 1  stimmt.
2. Fall nicht alles 9en
Da der Dividend s-stellig ist und nicht aus lauter 9en besteht, ist er kleiner als
der divisor, also geht es 0mal hinein, d.h.
d1 ...ds   :  9...9 = 0,
        0
---------
d1 ...ds
Jetzt ist der Rest s+1 stellig und beginnt mit d1 also gehen die s9en
d1 mal hinein und von  d1 ...ds 0  musst du d1 * 9...9 = d1*(10s+1 - 1) abziehen,
also   d1 ...ds 0    -  d1 0 .... 0 + d1 rechnen
das gibt als Rest   d2 ...ds 0  +  d1   =  d2 ...ds d1
also so:
d1 ...ds   :  9...9 = 0, d1 
        0
---------
d1 ...ds
d1*(10s+1 - 1)
------------------
      d2 ...ds d1
 und dann ist das wie am Anfang, nur fängt die Ziffernfolge mit d2 an
und das d1  ist hinten angehängt. So geht es immer weiter, bis
als Rest wieder die gleiche Ziffernfolge da steht wie am Anfang, also
die Periode zu erkennen ist.
von 270 k 🚀

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