Betrachte zunächst die Relation \(R_1=\left\lbrace(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\right\rbrace\) auf \(A=\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\).
Damit es sich bei der \(R_1\) um eine Äquivalenzrelation handelt, muss diese reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Für die Reflexivität muss jedes \(x\in A\) in Relation zu sich selbst stehen. D.h. es muss \((x, x)\in R_1\) für alle \(x\in A\) sein. Jedoch ist offensichtlich \((2, 2)\notin R_1\), weshalb \(R_1\) nicht reflexiv ist.
Damit kann man schon aufhören und muss gar nicht mehr Symmetrie und Transitivität prüfen, da \(R_1\) damit keine Äquivalenzrelation ist.
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Betrachte nun die Relation \(R_2=\left\lbrace(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (4, 3)\right\rbrace\) auf \(A=\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\).
Damit es sich bei der \(R_2\) um eine Äquivalenzrelation handelt, muss diese reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Für die Reflexivität muss jedes \(x\in A\) in Relation zu sich selbst stehen. D.h. es muss \((x, x)\in R_2\) für alle \(x\in A\) sein. Dies ist der Fall, da offensichtlich \((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\in R_2\) ist.
Für die Symmetrie muss zu jedem \((x, y)\in R_2\) auch \((y, x)\in R_2\) sein. Jedoch ist offensichtlich zwar \((1, 2)\in R_2\), aber \((2, 1)\notin R_2\), weshalb \(R_2\) nicht symmetrisch ist.
Damit kann man aufhören und muss gar nicht mehr Transitivität prüfen, da \(R_2\) damit keine Äquivalenzrelation ist.
