Ableitung finden OHNE CAS -> händisch

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion e^x(x^2-x)

Nun soll die erste und zweite Ableitung händisch berechnet werden. Ich bekomme immer ganz wirre Zahlen heraus.
Problem/Ansatz:

Meine Antwort für die erste Ableitung lautet:

e^x(2x-1)+e^x(x^2-x)

und für die zweite Ableitung:

e^x*(2x-1)+e^x*2+e^x(x^2-x)+e^x*2x-1

Mein CAS Rechner sagt nach Überprüfung was anderes. Zudem: Woher weiß man, wann man die Produkt- und wann man die Kettenregel anwendet?

Danke für Eure Hilfe!

Answer 1

deine Funktion lautet: \(y=f(x)=e^x(x^2-x)\)?

Grundsätzlich, die Produktregel nutzt man bei einer Multiplikation von Termen (z.B. \(3x\cdot 5x^2\) oder \(\sqrt{x}\cdot \tan(x)\)) und die Kettenregel, wenn es eine innere Funktion (z.B. das Argument) und eine äußere Funktion gibt z.B. \(\sin\left(4x^2\right),\: \ln\left(\dfrac{1}{x}\right),\: e^{3x+4}\).

Wobei man die äußere Funktion auf seine "ursprüngliche Form zurückführt, also (\(\ln(x),\: \sin(x),\: \sqrt{x}\)).
In deinem Beispiel bräuchte man die Kettenregel aber nicht.

Wenn du mit der Produktregel anfängst (die du hoffentlich kennst), erhältst du:

\(f'(x)=\left [ e^x \right ]'\cdot (x^2-x) + e^x \cdot \left [ (x^2-x) \right ]'\).

Die Ableitung von \(e^x\) bleibt gleich, und \((x^2-x)\) kannst du mit der Potenzregel berechnen: \(\left [(x^2-x)\right ]'=(2x-1)\).

Somit lautet deine Ableitung: \(f'(x)=e^x \cdot (x^2-x) + e^x \cdot (2x-1)\),
die du dann noch ggf. zu \(f'(x)=\left(x^2+x-1\right)\mathrm{e}^x\) vereinfachen könntest.

Wenn du nun die 2. Ableitung berechnen musst, hast du ja (in der vereinfachten Form) wieder ein Produkt, also kannst du wieder die Produktregel anwenden.

Comments

vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort. Wäre die zweite Ableitung dann:

(2x+1)*e^x+(x^2+x-1)*e^x ?

Vielen Dank! :)

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Ja, die Ableitung stimmt.

Könnte man aber noch zu \(f''(x)=x\left(x+3\right)\mathrm{e}^x\) vereinfachen.

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Vielen Dank! :)

Noch eine letzte Frage habe ich:

Wie vereinfacht man das? Ich meine.. meine Antwort war ja deutlich länger und beide sind richtig. Ihre Antwort ist natürlich "besser" (wenn man das so sagen darf), da sie vereinfacht ist. :)

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Du könntest ausmultiplizieren \(e^x\cdot x^2 + 3 e^x\cdot x\).

Hierbei siehst du, dass die Funktion immer mit dem x multipliziert wird.

Also könnten wir für den ersten Faktor schreiben \((e^x\cdot x^2)\) und für den 2. Faktor \(e^x(3x)\). Da beide aber mit \(e^x\) multipliziert werden, können wir somit die Klammern zusammenfassen zu \(e^x(x^2+3x)\).

Man könnte ein \(x^1\) auch noch aus der Klammer herausziehen; man erhält \(e^x\cdot x(x+3)\). Das ist aber Geschmackssache.

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Vielen lieben Dank für die Hilfe!!

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... für den ersten Faktor... und für den 2. Faktor ...

richtig ist wohl

... für den ersten Summanden... und für den 2. Summanden ...

Es werden auch nicht "beide mit e^x multipliziert"

Answer 2

Von$$u(x)\cdot\text{e}^{v(x)}$$ist die Ableitung$$\left(u'(x)+v'(x)\cdot u(x)\right)\cdot\text{e}^{v(x)}.$$Dieses Schema, dass vermutlich nicht in der Formelsammlung steht, lässt sich hier gut einsetzen, um Rechnung und Ergebnis übersichtlich zu halten.

_{PS: Unnötiger Fehler beseitigt!}