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Aufgabe:

A orthogonale 2x2 Matrix 

zu zeigen: det (A) = 1 und daraus folgt A = \( \begin{pmatrix} cos(φ) & -sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ) \end{pmatrix} \)

mit φ ∈ R


Problem/Ansatz:

1) Habe beliebige Matrix A erstellt 

A = \( \begin{pmatrix} a) & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

2) Spalten und Zeilen sind orthonormal (da A orthogonale Matrix) 

⟨\( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix}   c\\d \end{pmatrix} \) ⟩ = ac + bd = 0

⟨\( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix}   b\\d \end{pmatrix} \) ⟩ = ab + cd = 0

dann habe ich diese beiden zusammengefasst in ac + bd = ab +cd

3) zu zeigen: a=d

ac + bd = ab + cd 

durch umschreiben komme ich auf 

a(c-b) - d(c-b) = 0 

a(c-b) = d(c-b)   unter der Bedinung (c-b)≠0 folgt c ≠ b

a = d 

4) Da a = d folgt zu zeigen: c=-b 

ac +bd = 0

ac + ba = 0

ac = -ba   (a≠0) 

c= -b 

5) Matrix aufstellen

A = \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)

6) Eigenschaft der Determinante verwenden 

det (A) = a*a-b*(-b) = 1 

a²+b² = 1 

erinnert an sin²φ+cos²φ=1

und daraus ergibt sich die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} cos(φ) & -sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ) \end{pmatrix} \)


So mein Problem: 

Mein Professor meinte, dass ich die Fälle vergessen habe zu betrachten, wenn c=b=0 und a=d=0 bzw. was passiert wenn c=b. 

Was meint er genau damit bzw. was muss ich hierfür noch betrachten? 


Ansatz: 

Ich dachte, ich habe die Fälle c=b durch die Division in Punkt 3 ausgeschlossen? und a=0 bei Division in Punkt 4?

Muss ich hierfür jeden Fall einzeln betrachten und zum Beispiel 

Fall: c=b 

A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} \)

det(A) = a²-b²=1 

(a-b)(a+b)=1 

--> gilt nur wenn b=0

Fall: b=c=0 

A = \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \)

det(A) = a² = 1 => a=+-1

cos(φ)= 1 bei φ=0° und φ=360°

sin(φ) = 0 bei φ=0° und φ=180° und φ=360°

und somit gibt es nur 2 Winkel?

und dass dann mit Fall a=d=0 auch? 


Vielen Dank!

von

2 Antworten

0 Daumen

Hallo

 du hast in 3 erstmal c-d=0 ausgeschlossen, um zu dividieren, aber die Gleichung ist auch richtig wenn c-d=0

wenn c=d dann kannst du weiter wegen 2c^2=1

c=d=0 geht nicht da dann die Det=0

entsprechend a=0 daraus folgt b=1 oder-1 daraus wieder c und das sind alles Fälle für bestimmte Winkel.

Gruß lul

von 26 k

bei 3) habe ich c-b=0 ausgeschlossen und nicht c-d=0, denn wenn d dann würde die determinante 0 sein ja aber bei c-b=0 folgt ja c=b dann würde es für die Matrix ja:

det(A) = a²-b²=1

(a-b)(a+b)=1

--> gilt nur wenn b=0

Wie oben beschrieben? oder wie meinst du das mit c-d=0?

Hallo

 du hast recht, ich hatte b und d verwechselt, also hast du mit c=b  dann a^2+b^2=1 und b^2+d^2=1 woraus a^2=d^2 folgt also a=+-d

 und aus orthogonal ab+bd=0 mit b≠0, a=-d

du musst einfach die beanstandenden Teile einzeln betrachtet, aber für alle findest du ein sin und cos mit speziellen Winkeln.

Gruß lul

0 Daumen
a(c-b) = d(c-b)  unter der Bedingung (c-b)≠0, das heisst c ≠ b folgt

a = d

Falls aber c=b, können a und d an dieser Stelle beliebig sein.

Der Fall c=b ist vermutlich falsch. Das gibt vorerst nur mal A = ( (a,b), (b,d))

von 153 k

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