Aufgabe:
A orthogonale 2x2 Matrix
zu zeigen: det (A) = 1 und daraus folgt A = \( \begin{pmatrix} cos(φ) & -sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ) \end{pmatrix} \)
mit φ ∈ R
Problem/Ansatz:
1) Habe beliebige Matrix A erstellt
A = \( \begin{pmatrix} a) & c \\ b & d \end{pmatrix} \)
2) Spalten und Zeilen sind orthonormal (da A orthogonale Matrix)
⟨\( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix} \) ⟩ = ac + bd = 0
⟨\( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} \) ⟩ = ab + cd = 0
dann habe ich diese beiden zusammengefasst in ac + bd = ab +cd
3) zu zeigen: a=d
ac + bd = ab + cd
durch umschreiben komme ich auf
a(c-b) - d(c-b) = 0
a(c-b) = d(c-b) unter der Bedinung (c-b)≠0 folgt c ≠ b
a = d
4) Da a = d folgt zu zeigen: c=-b
ac +bd = 0
ac + ba = 0
ac = -ba (a≠0)
c= -b
5) Matrix aufstellen
A = \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)
6) Eigenschaft der Determinante verwenden
det (A) = a*a-b*(-b) = 1
a²+b² = 1
erinnert an sin²φ+cos²φ=1
und daraus ergibt sich die Matrix
A = \( \begin{pmatrix} cos(φ) & -sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ) \end{pmatrix} \)
So mein Problem:
Mein Professor meinte, dass ich die Fälle vergessen habe zu betrachten, wenn c=b=0 und a=d=0 bzw. was passiert wenn c=b.
Was meint er genau damit bzw. was muss ich hierfür noch betrachten?
Ansatz:
Ich dachte, ich habe die Fälle c=b durch die Division in Punkt 3 ausgeschlossen? und a=0 bei Division in Punkt 4?
Muss ich hierfür jeden Fall einzeln betrachten und zum Beispiel
Fall: c=b
A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} \)
det(A) = a²-b²=1
(a-b)(a+b)=1
--> gilt nur wenn b=0
Fall: b=c=0
A = \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \)
det(A) = a² = 1 => a=+-1
cos(φ)= 1 bei φ=0° und φ=360°
sin(φ) = 0 bei φ=0° und φ=180° und φ=360°
und somit gibt es nur 2 Winkel?
und dass dann mit Fall a=d=0 auch?
Vielen Dank!
