Modellierungsaufgabe mit ganzrationalen Funktionen

Question

Aufgabe:

1) Die Temperatur beträgt um 6 Uhr 22 Grad, um 16 Uhr wird die Höchsttemperatur von 32 Grad erreicht. Stelle eine geeignete Funktionsgleichung auf und berechne die Temperatur um 22 Uhr.

2) Die Konstruktion einer Rutsche für einen Spielplatz soll der Skizze entsprechen. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die die Leiter beschreibt, sowie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph dem Verlauf der Rutschbahn entspricht.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir total unsicher bei der Vorgehensweise. Habe bis jetzt nur die Funktion 3. Grades aufgestellt und komme nicht weiter.

Comments

Wie sieht denn deine Funktion 3. Grades aus?

Answer 1

zu 1)

Die Funktion könnte ich mir als eine nach unten geöffnete Parabel vorstellen.

Die allgemeine Form wäre

f(x) = ax² +bx + c

Mit den Angaben aus dem Text ergeben sich folgende Gleichungen:

f(6)   = 22 ⇒ 36a + 6b + c = 22

f(16)  =32 ⇒ 256a + 16b + c = 32

f'(16) =  0 ⇒  32a + b            = 0

Durch Lösen dieses Gleichungssystems berechnest du die Koeffizienten.

Gruß, Silvia

Answer 2

1)

Bei drei Bedingungen liegt eine quadratische Funktion vor. Der Scheitelpunkt befindet sich bei S(16|32). Ein weitere Punkt ist P(6|22).

Scheitelpunktform: y=a(x-x_S)²+y_S

Koordinaten von S einsetzen: y=a(x-16)²+32

Koordinaten von P einsetzen: 22=a(6-16)²+32 → 22=100a+32 → a=-0,1

Also y=-0,1(x-16)² + 32 bzw. y=-0,1x² + 3,2x + 6,4

2)

Die y-Achse liege auf der senkrechten Linie.

Zur Rutsche:

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \quad; \quad f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f(0)=3 \Longrightarrow d=3\)

\(f'(0)=0 \Longrightarrow c=0\)

\(f(5)=0 \Longrightarrow 0=125a+25b+3\)

\(f'(5)=0 \Longrightarrow 0=75a+10b \Longrightarrow b=-7,5a\)

Die letzte Beziehung in die vorletzte Zeile einsetzen:

\(0=125a-25\cdot7,5a+3\Longrightarrow 0=-62.5a+3 \Longrightarrow a= 0,048\)

\(b=-7,5a=-0,36\)

\(f(x)=0,048x^3-0,36x^2+3\quad; \quad \mathbb{D}_f= [0;5] \)

Zur Leiter:

Der Verlauf wird durch eine Gerade g beschrieben.

Wenn die y-Achse auf die senkrechte Linie gelegt wird, ist der y-Achsenabschnitt b=3 und die Steigung \(m=\frac{3}{0,8}=\frac{15}{4}\).

\(g(x)=\frac{15}{4}\cdot x +3\quad; \quad \mathbb{D}_g= [-0,8;0] \)