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Aufgabe:

Man soll diese Folgen auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen

a) \( a_{n}=\frac{1-n^{2}}{2 n}, \quad n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \)
b) \( a_{n}=\frac{1}{n^{2}+n-1}, \quad n \in \mathbb{N} \)


Problem:

Wie zeigt man, dass aunbeschränkt ist, und wie, dass bn nach unten beschränkt und monoton fallend ist?

von

3 Antworten

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Beste Antwort
Wie zeigt man, dass an unbeschränkt ist

lim (n → ∞) (1 - n^2) / (2·n)

= lim (n → ∞) (1/n - n) / 2 = -∞

und wie, dass bn nach unten beschränkt und monoton fallend ist?

gehört die 0 zur Menge N dazu? Dann wäre bn nicht monoton fallend. Ich gehe davon aus das 0 mit zur Menge gehört, da die 0 in an explizit ausgeschlossen wird. Das wäre nicht nötig, wenn die 0 eh nicht dazu gehört.

b0 = -1

b1 = 1

Da der Nenner für alle n >= 1 positiv ist und damit der Bruch positiv ist wäre -1 der kleinste Wert der Folge. Damit haben wir schon die untere Schranke.

von 306 k 🚀

Danke! Aber muss ich, dass lim(n→∞) \( \frac{1}{2} \)·(\(  \frac{1}{n} \)−n) = −∞ nicht noch irgendwie begründen?

Damit haben wir gezeigt, dass an nicht nach unten beschränkt ist. Muss ich an jetzt noch auf obere Beschränktheit hin untersuchen? Was meinst du?


Zu bn:

Das heißt b ist weder monoton fallend noch monoton steigend? Und wie sieht es mit einer oberen Schranke aus?


Ich hoffe, das ist nicht zu viel auf einmal

Danke! Aber muss ich, dass lim(n→∞) 12·(1n−n) = −∞ nicht noch irgendwie begründen?

Den Grenzwert begründest du mit den Grenzwertsätzen. Der Grenzwert von (0 - ∞)/2 ist -∞.

Muss ich an jetzt noch auf obere Beschränktheit hin untersuchen? Was meinst du?

Es gibt den Satz: Unbeschränkte Folgen divergieren. Es langt also wenn eine Folge divergiert, damit sie unbeschränkt ist.

Und wie sieht es mit einer oberen Schranke aus?

Der Nenner ist für n >= 1 streng monoton wachsend und positiv und damit der Bruch streng monoton fallend. Ich traue dir zu das du das auch nachweisen kannst. b1 = 1 ist damit eine obere Schranke.

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(1-n^2 ) / (2n )  =  1/(2n)  -  n/2  ist nach unten nicht beschränkt.

Sei C ∈ ℝ.  Zu zeigen bleibt:   Es gibt ein n mit an < C .

Falls C≥0 , wähle  n = 2 Dann ist a2 = -3/4  jedenfalls < C.

Sei C ∈ ℝ.    Dann gilt  für alle n ∈ ℕ \ {0}

an =  1/(2n)  -  n/2   < C

     <==>   1/n   -  n   < 2c

<==>      -  n    < 2c  - 1/n   < 2c

Also ist das erfüllt für -n < 2c .

                        bzw  n > -2c

Und nach Archimedes gibt es für jede reelle Zahl

( also auch für -2c) ein n ∈ℕ  das größer ist.

1 / ( n^2 + n- 1 )  ist nach unten beschränkt, denn für n>0 ist es

positiv und bo ist = -1 . Also ist -1 eine untere Schranke.

Das mit dem monotonfallend stimmt erst für n>0.

(Zur Existenz eines Grenzwertes reicht das ja.)

Sei also n>0. Dann ist zu zeigen  bn+1 < bn

<=>  1 / ( (n+1)^2 + (n+1)- 1 )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )

<=>  1 / ( (n^2 + 2n + 1  + n+1- 1 )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )

<=>  1 /  (n^2 + 3n + 1  )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )

Wegen n≥1 sind beide Nenner positiv, also 

<=>        n^2 + 3n + 1     >     <   n^2 + n- 1 

<=>                   2n     >     - 2   

und das gilt offenbar für alle n.


von 177 k 🚀

Wow, vielen vielen Dank! Nur eine Frage:

Im Beweis dafür, dass \( \frac{1-n^2}{2n} \) monoton fallend ist, kommst du ja an die Stelle


⇔   −n < 2C − \( \frac{1}{n} \)


Und dann sagst du, das sei erfüllt für −n < 2C, aber es könnte doch auch

     2C − \( \frac{1}{n} \) <  −n < 2C


sein, oder nicht? Vielleicht habe ich auch was falsch verstanden

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Hallo

 a) du zeigst dass der Ausdruck ab einem bestimmten n kleiner als eine beliebige Schranke -S ist S in N, also  1/n-n<-S

b) beschränkt bn>-1 zeigen ,  und erst ab n=1 monoton fallend ab n=1 >0 und an+1<an mit an+1/an<1

lul

von 28 k

Danke!!! Guter Tipp

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