Hallo limonade,
Fangen wir mal mit der Abbildung \(F\) an. Das dürfte Dir bereits klar sein, ein Punkt \((x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\) wird mit der Funktion \(F\) auf einen anderen Punkt im \(\mathbb{R}^2\) abgebildet. Hattest Du auch schon geschrieben:$$F: \space \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -2& 2\\ -1& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_1+ 2x_2\\ -x_1 + x_2 \end{pmatrix}$$ Bild \(\text{Im}(F)\) und Kern \(\ker(F)\) der Abbildung hast Du bereits bestimmt.
Als dritten Aufgabenteil sollst Du die Menge aller Punkte \(v\) finden, deren Abbildung mit \(F\) den Vektor \(w=(2b \quad b)^T\) ergibt. $$F(v) = w = \begin{pmatrix} 2b\\ b \end{pmatrix} \quad v = ?$$Und genau wie Woodo es in seiner Antwort bereits geschrieben hat, stellt man dazu die Gleichung der Abbildung auf:$$ \begin{pmatrix} -2& 2\\ -1& 1 \end{pmatrix} \cdot v = \begin{pmatrix} 2b\\ b \end{pmatrix} $$Die Menge aller \(v\), die diese Gleichung erfüllen, nennt man Faser (oder Urbild) der Abbildung \(F\) von \(w\). Damit die Faser keine leere Menge ergibt, muss das \(w\) natürlich im Bild von \(F\) liegen - also \(w \in \text{Im}(F)\). Das ist aber für jedes \(b \in \mathbb{R}\) der Fall, wie Du schon im ersten Aufgabenteil fest gestellt hast.
Da die Determinante der Matrix der Abbildung gleich 0 ist, haben wir es mit keiner oder unendlich vielen Lösungen für \(v\) zu tun. Wobei letzteres zu erwarten ist, da - wie schon geschrieben - \(w \in \text{Im}(F)\). Das löst man am besten mit dem Gauß:$$\begin{array}{rr|r} -2& 2& 2b\\ -1& 1& b\end{array}$$ziehe das doppelte der zweiten von der ersten Zeile ab$$\implies \begin{array}{rr|r} 0& 0& 0\\ -1& 1& b\end{array}$$die Gleichung der ersten Zeile ist immer erfüllt; d.h. wir haben es - wie erwartet - mit unendlich vielen Lösungen zu tun. Aus der zweiten Zeile folgt$$\begin{aligned}-x_1 + x_2 &= b \\ x_2 &= x_1 + b\end{aligned}$$Also jedes Koordinatenpaar \(v= (x_1 \space x_2)^T\), welches diese Gleichung erfüllt, erfüllt auch die Gleichung \(F(v) = w\) und ist damit ein Element der gesuchten Faser.
Das ganze noch mal optisch:
https://jsfiddle.net/b9m1d8wx/
Die blaue Gerade ist das Bild von \(F\). Alle Punkte \(v \in \mathbb{R}^2\), die auf der roten Geraden liegen, werden auf \(w\) abgebildet. Folglich ist die rote Gerade die Faser von \(w\) bezüglich \(F\). Verschiebe \(w\) mit der Maus, dann verschiebt sich auch die Faser.
Gruß Werner
