Rationale Funktion bestimmen

Question

Aufgabe: $$ ƒ(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d} $$

Polstelle x = -2

Nullstelle x = 3

Asymptote y = x+1

Bestimmen Sie die Parameter a, b, c, d.

Problem/Ansatz:

Nullstelle: $$ f'(x) = \dfrac{(2ax + b)(x + d) - (ax^2 + bx + c)(1)}{(x + d)(x + d)} = \dfrac{3ax^2 + axd + 2bx + bd + c  }{x^2 + 2xd + d^2} $$ $$ 3ax^2 + axd + 2bx + bd + c = 0 $$ Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde gar nicht so viel rumrechnen:$$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$$Polstelle bei \(x=-2\) heißt, dass der Nenner \(x+2\) lauten muss:$$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+2}$$Nullstelle bei \(x=3\) bedeutet, dass das Zählerpolynom als Faktor \((x-3)\) enthalten muss:$$f(x)=\frac{a(x-3)(x+e)}{x+2}$$Bleiben noch \(a\) und \(e\) aus der Asymptote \(y=x+1\) zu bestimmen:

$$f(x)=a\cdot\frac{x-3}{x+2}\cdot(x+e)=a\cdot\frac{x+2-5}{x+2}\cdot(x+e)=a\left(1-\frac{5}{x+2}\right)(x+e)$$Für große \(x\), also \(x\to\infty\) geht der Faktor in der großen Klammer gegen \(1\). Die Asymptote lautet daher:$$f_{\infty}(x)=a(x+e)\stackrel{!}=x+1\quad\Rightarrow\quad a=1\;\;;\;\;e=1$$Damit haben wir die Funktion gefunden:$$f(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{x+2}=\frac{x^2-2x-3}{x+2}$$

~plot~ (x^2-2*x-3)/(x+2); [[-5|5|-15|15]] ~plot~

Answer 2

Hallo

 Pol bei x=-d da da der Nenner 0

Nullstelle:  Zähler =0

 Asymptote, dividiere  Z und N durch x  dann (ax+b+c/x)/(1+d/x) für x-> oo verschwindet  c/x und d/x also Asymptote ax+b.

Gruß lul