Ableitung der Funktion f(x)=x/(||x||^2) bestimmen

Question

Bestimmt werden soll die Ableitung von

\(f(x) = \frac{x}{||x||^2} \) .

Da sich hier im Buch keine weiteren Vorgaben finden lassen, nehme ich mal an, dass die euklidische Norm gemeint ist. Nun steht hier noch, dass sich f auch als

\(f(x) = (\frac{x_{1}}{|x|^2}, \frac{x_{2}}{|x|^2}) \)

schreiben lässt. Kann mir das bitte jemand erklären?

Edit: f ist eine Funktion von R^2\{0} nach R^2.

Comments

wenn x aus R^2 ist, dann ist doch  x / ||x|| auch aus R^2  ???

oder geht es um die Norm allein  f(x) = ||x||   ?

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Ähm, ja, ich schätze, dann ist auch x/||x|| aus R^2. Aber leider weiß ich nicht genau, worauf du mit dieser Frage hinauswillst, mathef

Ne, also es geht um die Funktion, die ich oben angegeben habe, vielleicht hätte ich den Titel der Frage anders formulieren sollen, warte, ich ändere ihn

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Aloha :)

Die Funktion \(f\) bildet nicht nach \(\mathbb{R}\) ab, sondern nach \(\mathbb{R}^2\). \(x\) ist hier ein 2-dimensionaler Vektor mit 2 Koordinaten \(x=\binom{x_1}{x_2}\). Daher ist \(\frac{x}{|x|}\in\mathbb{R}^2\).

Bitte prüfe mal die Aufgabenstellung, so kann das nicht stimmen.

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Ahhh, ach so, jetzt verstehe ich auch mathefs Frage, danke euch beiden. Und ja, ihr habt natürlich recht, habe das hoch 2 vergessen

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Dann stellt sich die Frage, was mit Ableitung gemeint ist. Ein Vektor wird abeleitet, indem man jede seiner Komponenten ableitet. Wonach soll hier abgeleitet werden? Nach \(x\) ableiten geht nicht, weil \(x\) ein Vektor ist. Hängt der Vektor \(x\) vielleicht von einer Variablen ab, etwa \(x=x(t)\)?

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Ich poste mal die Orginialaufgabe, das ist wohl am besten

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So steht es im Buch:

"Beispiel 46
\( F \)
Wir betrachten die Abbildungen
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb{R}^{2} \backslash|0| \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\frac{x}{\|x\|^{2}} \\ g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, g(y):=\|y\| \end{array} $$
Wir bemerken kurz: \( f \) können wir auch schreiben als \( f(\vec{x})=\left(\frac{x_{1}}{| x^{2}}, \frac{x_{2}}{|x|^{2}}\right) . \) Vielleicht hilft dies dem ein oder anderen, die Ableitung zu bestimmen.
\( f \) ist aut \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \) differenzierbar, und die Jacobi-Matrix in kartesischen Koordinaten ist die Matrix
$$ J_{f}(x)=\frac{1}{\|x\|^{4}}\left(\begin{array}{cc} \left(x_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}\right)^{2} & -2 x_{1} x_{2} \\ -2 x_{1} x_{2} & \left(x_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}\right)^{2} \end{array}\right) $$
\(g \) ist auf \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{0\} \) differenzierbar und \( D g(y) \) wird in kartesischen Koordinaten durch die Multiplikation von links mit der Matrix
$$ J_{g}(y)=\frac{1}{\|y\|}\left(y_{1}, y_{2}\right) $$

dargestellt. [...]"

Und nun ja: ich verstehe das nicht so ganz. Wieso läss sich f auch anders darstellen und wie kommt man auf die Jacobi-Matrix Jf?

Answer 1

neue Version der Aufg. mit ^2 im Nenner:

f(x,y) = \( \begin{pmatrix} x/{(x^{2}+y^{2}),} & y/{(x^{2}+y^{2}),}  \end{pmatrix} \)

ableiten:

J f = \( \begin{pmatrix} \frac{δ}{δx} x/{(x^{2}+y^{2}),} & \frac{δ}{δy} x/{(x^{2}+y^{2}),} \\ \frac{δ}{δx} y/{(x^{2}+y^{2}),} & \frac{δ}{δy} y/{(x^{2}+y^{2}),} \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}& \frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \\  \frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \end{pmatrix} \)

   

Comments

Aha, jetzt neue Aufgabe!

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Welche Ableitung sollte das denn sein, die du da angegeben hast? Irgendwas wie der Gradient von einem Vektor?

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Schwierigkeiten mit Latex

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Auch dir vielen lieben Dank, Helmus! :*

Answer 2

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix \(J\) besteht aus den partiellen Ableitungen:

$$J_f(x)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{array}\right)$$

$$f(x_1,x_2)=\binom{f_1(x)}{f_2(x)}=\frac{1}{|x|^2}\binom{x_1}{x_2}=\frac{1}{x_1^2+x_2^2}\binom{x_1}{x_2}$$Zur Bestimmung der Jacobi-Matrix brauchen wir die Ableitung des Vorfaktors sehr oft, daher berechnen wie diese zuerst:$$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{1}{|x|^2}\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)^{-1}\right)=-\left(x_1^2+x_2^2\right)^{-2}\cdot 2x_i=\frac{-2x_i}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$Damit gehen wir die Jacobi-Matrix an:

$$\frac{\partial f_1}{\partial x_1}=\left(\frac{x_1}{|x|^2}\right)'=-\frac{2x_1}{(x_1^2+x_2^2)^2}\cdot x_1+\frac{1}{x_1^2+x_2^2}=\frac{-2x_1^2+x_1^2+x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$$$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\left(\frac{x_1}{|x|^2}\right)'=-\frac{2x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}\cdot x_1=\frac{-2x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$$$\frac{\partial f_2}{\partial x_1}=\left(\frac{x_2}{|x|^2}\right)'=-\frac{2x_1}{(x_1^2+x_2^2)^2}\cdot x_2=\frac{-2x_1x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$$$\frac{\partial f_2}{\partial x_2}=\left(\frac{x_2}{|x|^2}\right)'=-\frac{2x_2}{(x_1^2+x_2^2)^2}\cdot x_2+\frac{1}{x_1^2+x_2^2}=\frac{-2x_2^2+x_1^2+x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}=\frac{x_1^2-x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}$$Jetzt alle 4 Ableitungen in die Jacobi-Matrix einsetzen und fertig ist die Ableitung ;)

$$J_f(x)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{array}\right)=\frac{1}{(x_1^2+x_2^2)^2}\left(\begin{array}{c}x_2^2-x_1^2&-2x_1x_2\\-2x_1x_2&x_1^2-x_2^2\end{array}\right)$$Kriegst du die Funktion \(g\) alleine hin? Wenn nicht, frag bitte einfach nochmal nach...

Comments

Vielen lieben Dank, Tschakabumba!!!! Habe deine Ausführungen verstanden und dadurch auch g hingekriegt; ich glaube, ich verstehe das Thema jetzt schon ein bisschen besser :)