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Aufgabe: Beweisen sie die folgenden Identitäten mit Hilfe des Levi-Civita-Tensors. Dabei sind A(r) und B(r) beliebige C2  Skalares Feld.

a) ∇ • (∇ x A) = 0

b) ∇ x (φA) = (∇φ) x A + φ∇ x A

Problem/Ansatz:

Verstehe leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll.

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Aloha :)

a) Die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet:(×A)=i=13i(×A)i=i=13i(j=13k=13εijkjAk)\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\sum_{i=1}^3\partial_i(\vec\nabla\times\vec A)_i=\sum_{i=1}^3\partial_i\left(\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k\right)=i=13j=13k=13εijki(jAk)=i=13j=13k=13εijkijAk\quad=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_i\left(\partial_jA_k\right)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k=12A3+23A1+31A232A121A313A2\quad=\partial_1\partial_2A_3+\partial_2\partial_3A_1+\partial_3\partial_1A_2-\partial_3\partial_2A_1-\partial_2\partial_1A_3-\partial_1\partial_3A_2=23A132A1+31A213A2+12A321A3\quad=\partial_2\partial_3A_1-\partial_3\partial_2A_1+\partial_3\partial_1A_2-\partial_1\partial_3A_2+\partial_1\partial_2A_3-\partial_2\partial_1A_3Wegen AC2\vec A\in C^2 gilt nach dem Satz von Schwarz: ijAk=jiAk\partial_i\partial_jA_k=\partial_j\partial_iA_k, sodass:=23A123A1+31A231A2+12A312A3=0\quad=\partial_2\partial_3A_1-\partial_2\partial_3A_1+\partial_3\partial_1A_2-\partial_3\partial_1A_2+\partial_1\partial_2A_3-\partial_1\partial_2A_3=0\quad\checkmark

b) Produktregel für Rotation:

(×(φA))i=j=13k=13εijkj(φA)k=j=13k=13εijkj(φAk)\left(\vec\nabla\times\left(\varphi\vec A\right)\right)_i=\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j(\varphi A)_k=\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_j(\varphi A_k)=j=13k=13εijk((jφ)Ak+φjAk))=j=13k=13εijk((jφ)Ak)\quad=\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}((\partial_j\varphi)A_k+\varphi\partial_jA_k))=\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}((\partial_j\varphi)A_k)+j=13k=13εijk(φjAk)\quad+\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}(\varphi\partial_jA_k)=j=13k=13εijk(φ)jAk+φj=13k=13εijkjAk\quad=\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}(\vec\nabla\varphi)_jA_k+\varphi\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k=((φ)×A)i+φ(×A)i\quad=((\vec\nabla\varphi)\times\vec A)_i+\varphi(\vec\nabla\times A)_i\quad\checkmark

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