Aloha :)
a) Die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet:∇⋅(∇×A)=i=1∑3∂i(∇×A)i=i=1∑3∂i(j=1∑3k=1∑3εijk∂jAk)=i=1∑3j=1∑3k=1∑3εijk∂i(∂jAk)=i=1∑3j=1∑3k=1∑3εijk∂i∂jAk=∂1∂2A3+∂2∂3A1+∂3∂1A2−∂3∂2A1−∂2∂1A3−∂1∂3A2=∂2∂3A1−∂3∂2A1+∂3∂1A2−∂1∂3A2+∂1∂2A3−∂2∂1A3Wegen A∈C2 gilt nach dem Satz von Schwarz: ∂i∂jAk=∂j∂iAk, sodass:=∂2∂3A1−∂2∂3A1+∂3∂1A2−∂3∂1A2+∂1∂2A3−∂1∂2A3=0✓
b) Produktregel für Rotation:
(∇×(φA))i=j=1∑3k=1∑3εijk∂j(φA)k=j=1∑3k=1∑3εijk∂j(φAk)=j=1∑3k=1∑3εijk((∂jφ)Ak+φ∂jAk))=j=1∑3k=1∑3εijk((∂jφ)Ak)+j=1∑3k=1∑3εijk(φ∂jAk)=j=1∑3k=1∑3εijk(∇φ)jAk+φj=1∑3k=1∑3εijk∂jAk=((∇φ)×A)i+φ(∇×A)i✓