Schneidet s die Gerade (\mathrm{AC})?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte $\mathrm{A}(3 / 1 / 1), \mathrm{B}(4 / 2 / 0), \mathrm{C}(2 / 2 / 2)$ und $\mathrm{D}(4 / 2 / 4)$ sowie die Ebene
$F: 3 x+4 y-z-16=0$
und E: x+z-4=0

-Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s von E und F. Schneidet s die Gerade $(\mathrm{AC}) ?$

Problem/Ansatz:

Ich freue mich auf Eure Hilfe !

Comments

Hallo Karen,

anbei die Darstellung der Aufgabe im Geoknecht3D (klick auf das Bild)

Answer 1

x + z = 4 → z als Freiheitsgrad --> x = 4 - z

3·(4 - z) + 4·y - z = 16 --> y = z + 1

Schnittgerade

s: X = [4 - z, z + 1, z] = [4 , 1, 0] + z·[-1, 1, 1]

Schnittpunt von s und AC

[4 , 1, 0] + r·[-1, 1, 1] = [3, 1, 1] + s·[-1, 1, 1] → Keine Lösung daher parallel

Answer 2

Aloha :)

$$E:\;0=x+z-4\quad\Rightarrow\quad x=4-z$$$$F:\;0=3x+4y-z-16=3(4-z)+4y-z-16=-4-4z+4y$$$$\phantom{F:\;}\Rightarrow\quad y=1+z$$Damit haben wir die Schnittgerade $g$ gefunden:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-z\\1+z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Die Gerade $AC$ lautet:$$h:\;\vec x=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2-3\\2-1\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Offensichtlich haben $g$ und $h$ denselben Richtungsvektor, verlaufen also parallel zueinander. Auf der "Höhe" $z=0$ hat $g$ den Punkt $G(4|1|0)$ und $h$ den Punkte $H(4|0|0)$, wobei $\lambda=-1$ zu setzen ist. Daher sind die beiden Geraden nicht identisch. Es gibt also keinen gemeinsamen Schnittpunkt.